Номер 36, страница 19 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

36. Перечислите свойства функции $y = g(x)$, график которой изображён на рисунке 20.

$y = f(x)$

Рис. 19

$y = g(x)$

Рис. 20

1. Область определения функции
Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, на котором задана функция. По графику видно, что функция определена для всех $x$ от -5 до 5 включительно.
Ответ: $D(g) = [-5, 5]$.

2. Область значений функции
Область значений функции — это множество всех значений, которые принимает функция $y$. Наименьшее значение функции на данном промежутке, судя по графику, равно -4 (при $x=-5$), а наибольшее равно 6 (при $x=5$).
Ответ: $E(g) = [-4, 6]$.

3. Нули функции
Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции равно нулю ($g(x) = 0$). Это точки пересечения графика с осью абсцисс ($Ox$). Из графика находим три таких точки.
Ответ: $x = -2.5, x = 1.5, x = 2.5$.

4. Промежутки знакопостоянства
Это промежутки, на которых функция принимает только положительные или только отрицательные значения.
Функция положительна ($g(x) > 0$), когда ее график находится выше оси $Ox$.
Функция отрицательна ($g(x) < 0$), когда ее график находится ниже оси $Ox$.
Ответ: функция положительна при $x \in (-2.5, 1.5) \cup (2.5, 5]$; функция отрицательна при $x \in [-5, -2.5) \cup (1.5, 2.5)$.

5. Промежутки монотонности
Это промежутки, на которых функция возрастает или убывает.
Функция возрастает, если при увеличении $x$ значение $y$ также увеличивается (график идет вверх).
Функция убывает, если при увеличении $x$ значение $y$ уменьшается (график идет вниз).
Ответ: функция возрастает на промежутках $[-5, 0]$ и $[2, 5]$; функция убывает на промежутке $[0, 2]$.

6. Точки экстремума и экстремумы функции
Точки экстремума — это точки, в которых производная функции равна нулю или не существует, и при переходе через которые производная меняет знак. Визуально это "вершины" и "впадины" на графике.
В точке $x=0$ функция имеет локальный максимум.
В точке $x=2$ функция имеет локальный минимум.
Ответ: точка локального максимума $x_{max} = 0$, локальный максимум $g(0) = 3$; точка локального минимума $x_{min} = 2$, локальный минимум $g(2) = -1$.

7. Наибольшее и наименьшее значения функции
Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке $[-5, 5]$ находятся путем сравнения значений функции в точках локальных экстремумов и на концах отрезка.
Значения в интересующих точках: $g(-5) = -4$, $g(0) = 3$, $g(2) = -1$, $g(5) = 6$.
Сравнивая эти значения, находим наибольшее и наименьшее.
Ответ: наибольшее значение функции $y_{наиб} = 6$ (достигается при $x = 5$); наименьшее значение функции $y_{наим} = -4$ (достигается при $x = -5$).

8. Четность
Функция является четной, если $g(-x) = g(x)$ (график симметричен относительно оси $Oy$), и нечетной, если $g(-x) = -g(x)$ (график симметричен относительно начала координат).
Проверим на примере: $g(4) = 3$, а $g(-4) = -1$. Так как $g(-4) \neq g(4)$ и $g(-4) \neq -g(4)$, то функция не является ни четной, ни нечетной.
Ответ: функция общего вида (ни четная, ни нечетная).

9. Непрерывность
Функция называется непрерывной на промежутке, если ее график на этом промежутке является сплошной линией, без разрывов. График функции $y=g(x)$ является сплошной линией на всей области определения.
Ответ: функция непрерывна на всей области определения, то есть на отрезке $[-5, 5]$.