Номер 31, страница 14 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

31. Решите квадратное уравнение:

а) $x^2 + 7x + 12 = 0;$

б) $x^2 - 2x - 35 = 0;$

в) $2x^2 - 5x - 3 = 0;$

г) $3x^2 - 8x + 5 = 0.$

а) $x^2 + 7x + 12 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение. Для его решения воспользуемся общей формулой корней квадратного уравнения через дискриминант.

Формула для корней уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$, где дискриминант $D = b^2 - 4ac$.

В данном уравнении коэффициенты: $a=1$, $b=7$, $c=12$.

Вычислим дискриминант:

$D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-7 - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 - 1}{2} = \frac{-8}{2} = -4$

$x_2 = \frac{-7 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 + 1}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

В качестве проверки можно использовать теорему Виета: сумма корней $x_1 + x_2 = -4 + (-3) = -7 = -b/a$; произведение корней $x_1 \cdot x_2 = (-4) \cdot (-3) = 12 = c/a$.

Ответ: $x_1 = -4$, $x_2 = -3$.

б) $x^2 - 2x - 35 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта.

Коэффициенты: $a=1$, $b=-2$, $c=-35$.

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-35) = 4 + 140 = 144$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{144} = 12$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-(-2) - 12}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 12}{2} = \frac{-10}{2} = -5$

$x_2 = \frac{-(-2) + 12}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 12}{2} = \frac{14}{2} = 7$

Ответ: $x_1 = -5$, $x_2 = 7$.

в) $2x^2 - 5x - 3 = 0$

Это полное квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта.

Коэффициенты: $a=2$, $b=-5$, $c=-3$.

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{49} = 7$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-(-5) - 7}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 7}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

$x_2 = \frac{-(-5) + 7}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 7}{4} = \frac{12}{4} = 3$

Ответ: $x_1 = -\frac{1}{2}$, $x_2 = 3$.

г) $3x^2 - 8x + 5 = 0$

Это полное квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта.

Коэффициенты: $a=3$, $b=-8$, $c=5$.

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 5 = 64 - 60 = 4$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{4} = 2$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-(-8) - 2}{2 \cdot 3} = \frac{8 - 2}{6} = \frac{6}{6} = 1$

$x_2 = \frac{-(-8) + 2}{2 \cdot 3} = \frac{8 + 2}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$

Можно также заметить, что сумма коэффициентов этого уравнения равна нулю: $a+b+c = 3+(-8)+5=0$. В этом случае, один из корней уравнения всегда равен $1$, а второй равен $c/a = 5/3$, что совпадает с полученным решением.

Ответ: $x_1 = 1$, $x_2 = \frac{5}{3}$.