Номер 27, страница 13 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

27. (Задача-исследование.) Изменение температуры воды $p$ ($^\circ$C) в баке как функции времени $t$ (мин) описано с помощью формул:

$p = \begin{cases} 2t + 20, & \text{если } 0 \le t < 40, \\ 100, & \text{если } 40 \le t \le 60, \\ -\frac{2}{3}t + 140, & \text{если } 60 < t \le 150. \end{cases}$

1) Определите, как изменялась температура воды в каждом из указанных промежутков времени.

2) Постройте график функции $p = f(t)$.

3) Обсудите, какой физический смысл имел процесс, описанный функцией $p = f(t)$, в каждом из промежутков времени $[0; 40)$; $[40; 60]$; $(60; 150]$.

1) Определите, как изменялась температура воды в каждом из указанных промежутков времени.

Для анализа изменения температуры рассмотрим каждый промежуток времени отдельно, исходя из заданной кусочно-линейной функции $p(t)$.

Промежуток $0 \le t < 40$:

На этом интервале температура описывается функцией $p(t) = 2t + 20$. Это линейная функция вида $y = kx + b$ с угловым коэффициентом $k=2$. Так как $k > 0$, функция является возрастающей. Это означает, что температура воды равномерно повышается.

Найдем значения температуры на границах промежутка:

• При $t = 0$ (начальный момент): $p(0) = 2 \cdot 0 + 20 = 20^\circ\text{С}$.
• При $t \to 40$ (в конце промежутка): $p(40) = 2 \cdot 40 + 20 = 80 + 20 = 100^\circ\text{С}$.

Таким образом, с 0-й по 40-ю минуту температура линейно возрастала с $20^\circ\text{С}$ до $100^\circ\text{С}$.

Промежуток $40 \le t \le 60$:

На этом интервале температура описывается функцией $p(t) = 100$. Это функция, значение которой постоянно.

Температура воды не изменялась и оставалась равной $100^\circ\text{С}$.

Промежуток $60 < t \le 150$:

На этом интервале температура описывается функцией $p(t) = -\frac{2}{3}t + 140$. Это линейная функция с угловым коэффициентом $k = -\frac{2}{3}$. Так как $k < 0$, функция является убывающей. Это означает, что температура воды равномерно понижается.

Найдем значения температуры на границах промежутка:

• При $t \to 60$ (в начале промежутка): $p(60) = -\frac{2}{3} \cdot 60 + 140 = -40 + 140 = 100^\circ\text{С}$.
• При $t = 150$ (конечный момент): $p(150) = -\frac{2}{3} \cdot 150 + 140 = -100 + 140 = 40^\circ\text{С}$.

Таким образом, с 60-й по 150-ю минуту температура линейно убывала со $100^\circ\text{С}$ до $40^\circ\text{С}$.

Ответ: В промежутке времени от 0 до 40 минут температура равномерно росла с $20^\circ\text{С}$ до $100^\circ\text{С}$. В промежутке от 40 до 60 минут температура была постоянной и составляла $100^\circ\text{С}$. В промежутке от 60 до 150 минут температура равномерно снижалась со $100^\circ\text{С}$ до $40^\circ\text{С}$.

2) Постройте график функции $p = f(t)$.

График функции $p(t)$ состоит из трех отрезков прямых. Для построения графика определим координаты ключевых точек на плоскости $(t, p)$, где $t$ — время в минутах (ось абсцисс), а $p$ — температура в градусах Цельсия (ось ординат).

• Первый участок ($0 \le t < 40$): График функции $p(t) = 2t + 20$. Это отрезок прямой, соединяющий точки:
  • Начальная точка: $(0, p(0)) = (0, 20)$.
  • Конечная точка: $(40, p(40)) = (40, 100)$. Точка $(40, 100)$ не включается в этот интервал, но является его пределом.
• Второй участок ($40 \le t \le 60$): График функции $p(t) = 100$. Это горизонтальный отрезок прямой, соединяющий точки:
  • Начальная точка: $(40, 100)$.
  • Конечная точка: $(60, 100)$.
• Третий участок ($60 < t \le 150$): График функции $p(t) = -\frac{2}{3}t + 140$. Это отрезок прямой, соединяющий точки:
  • Начальная точка: $(60, p(60)) = (60, 100)$. Точка $(60, 100)$ не включается в этот интервал, но является его пределом.
  • Конечная точка: $(150, p(150)) = (150, 40)$.

Функция является непрерывной, так как значения на стыках интервалов совпадают: $p(40)$ для первого и второго участков равно $100^\circ\text{С}$, а $p(60)$ для второго и третьего участков равно $100^\circ\text{С}$.

Ответ: График представляет собой ломаную линию, состоящую из трех отрезков. Первый отрезок поднимается из точки $(0, 20)$ в точку $(40, 100)$. Второй отрезок — горизонтальная линия от точки $(40, 100)$ до точки $(60, 100)$. Третий отрезок опускается из точки $(60, 100)$ в точку $(150, 40)$.

3) Обсудите, какой физический смысл имеет процесс, описанный функцией $p = f(t)$, в каждом из промежутков времени [0; 40); [40; 60]; (60; 150].

Рассмотрим физическую интерпретацию каждого этапа процесса.

Промежуток [0; 40): В начальный момент времени ($t=0$) вода имела температуру $20^\circ\text{С}$ (комнатная температура). Затем в течение 40 минут происходил равномерный нагрев воды до температуры $100^\circ\text{С}$. Эта температура является точкой кипения воды при нормальном атмосферном давлении. Линейный рост температуры означает, что мощность нагревательного элемента была постоянной.

Промежуток [40; 60]: В течение следующих 20 минут (с 40-й по 60-ю) температура воды оставалась постоянной на уровне $100^\circ\text{С}$. Физически это соответствует процессу кипения. Вода кипит, и вся подводимая энергия расходуется на парообразование (превращение воды в пар), а не на повышение температуры.

Промежуток (60; 150]: В момент времени $t=60$ нагрев прекратился, и начался процесс остывания. В течение 90 минут (с 60-й по 150-ю) температура воды равномерно снижалась со $100^\circ\text{С}$ до $40^\circ\text{С}$. Линейное остывание является упрощенной моделью; в реальности остывание происходит по экспоненциальному закону (закон Ньютона-Рихмана), но линейная аппроксимация может быть использована для описания процесса на определенном промежутке времени.

Ответ: В промежутке [0; 40) происходит нагрев воды от $20^\circ\text{С}$ до температуры кипения $100^\circ\text{С}$. В промежутке [40; 60] вода кипит при постоянной температуре $100^\circ\text{С}$. В промежутке (60; 150] происходит остывание воды после выключения нагревателя с $100^\circ\text{С}$ до $40^\circ\text{С}$.