Страница 29 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

76. Разложите на множители квадратный трёхчлен:

а) $3x^2 - 24x + 21$;

б) $5x^2 + 10x - 15$;

в) $\frac{1}{6}x^2 + \frac{1}{2}x + \frac{1}{3}$;

г) $x^2 - 12x + 20$;

д) $-y^2 + 16y - 15$;

е) $-x^2 - 8x + 9$;

ж) $2x^2 - 5x + 3$;

з) $5y^2 + 2y - 3$;

и) $-2x^2 + 5x + 7$.

а) Для разложения квадратного трехчлена $3x^2 - 24x + 21$ на множители, воспользуемся формулой $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $3x^2 - 24x + 21 = 0$.
Разделим уравнение на 3 для упрощения: $x^2 - 8x + 7 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 64 - 28 = 36$.
Найдем корни: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + \sqrt{36}}{2} = \frac{8 + 6}{2} = 7$; $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - \sqrt{36}}{2} = \frac{8 - 6}{2} = 1$.
Подставим корни в формулу разложения, учитывая, что $a=3$ из исходного трехчлена:
$3x^2 - 24x + 21 = 3(x - 7)(x - 1)$.
Ответ: $3(x - 7)(x - 1)$.

б) Для разложения $5x^2 + 10x - 15$, найдем корни уравнения $5x^2 + 10x - 15 = 0$.
Разделим уравнение на 5: $x^2 + 2x - 3 = 0$.
Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$.
Корни: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 + 4}{2} = 1$; $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 - 4}{2} = -3$.
Подставляем в формулу $a(x - x_1)(x - x_2)$ с $a=5$:
$5x^2 + 10x - 15 = 5(x - 1)(x - (-3)) = 5(x - 1)(x + 3)$.
Ответ: $5(x - 1)(x + 3)$.

в) Для разложения $\frac{1}{6}x^2 + \frac{1}{2}x + \frac{1}{3}$, найдем корни уравнения $\frac{1}{6}x^2 + \frac{1}{2}x + \frac{1}{3} = 0$.
Умножим уравнение на 6, чтобы избавиться от дробей: $x^2 + 3x + 2 = 0$.
Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1$.
Корни: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + \sqrt{1}}{2} = \frac{-2}{2} = -1$; $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - \sqrt{1}}{2} = \frac{-4}{2} = -2$.
Подставляем в формулу $a(x - x_1)(x - x_2)$ с $a=\frac{1}{6}$:
$\frac{1}{6}x^2 + \frac{1}{2}x + \frac{1}{3} = \frac{1}{6}(x - (-1))(x - (-2)) = \frac{1}{6}(x + 1)(x + 2)$.
Ответ: $\frac{1}{6}(x + 1)(x + 2)$.

г) Для разложения $x^2 - 12x + 20$, найдем корни уравнения $x^2 - 12x + 20 = 0$.
Это приведенное квадратное уравнение, воспользуемся теоремой Виета: $x_1 + x_2 = 12$, $x_1 \cdot x_2 = 20$.
Подбором находим корни: $x_1 = 10$, $x_2 = 2$.
Подставляем в формулу $a(x - x_1)(x - x_2)$ с $a=1$:
$x^2 - 12x + 20 = 1(x - 10)(x - 2) = (x - 10)(x - 2)$.
Ответ: $(x - 10)(x - 2)$.

д) Для разложения $-y^2 + 16y - 15$, найдем корни уравнения $-y^2 + 16y - 15 = 0$.
Умножим уравнение на -1: $y^2 - 16y + 15 = 0$.
По теореме Виета: $y_1 + y_2 = 16$, $y_1 \cdot y_2 = 15$. Корни: $y_1 = 15$, $y_2 = 1$.
Подставляем в формулу $a(y - y_1)(y - y_2)$ с $a=-1$ (из исходного трехчлена):
$-y^2 + 16y - 15 = -1(y - 15)(y - 1) = -(y - 15)(y - 1)$.
Ответ: $-(y - 15)(y - 1)$.

е) Для разложения $-x^2 - 8x + 9$, найдем корни уравнения $-x^2 - 8x + 9 = 0$.
Умножим на -1: $x^2 + 8x - 9 = 0$.
По теореме Виета: $x_1 + x_2 = -8$, $x_1 \cdot x_2 = -9$. Корни: $x_1 = 1$, $x_2 = -9$.
Подставляем в формулу $a(x - x_1)(x - x_2)$ с $a=-1$:
$-x^2 - 8x + 9 = -1(x - 1)(x - (-9)) = -(x - 1)(x + 9)$.
Ответ: $-(x - 1)(x + 9)$.

ж) Для разложения $2x^2 - 5x + 3$, найдем корни уравнения $2x^2 - 5x + 3 = 0$.
Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1$.
Корни: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{1}}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$; $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{1}}{4} = \frac{4}{4} = 1$.
Подставляем в формулу $a(x - x_1)(x - x_2)$ с $a=2$:
$2x^2 - 5x + 3 = 2(x - \frac{3}{2})(x - 1)$.
Внесем множитель 2 в первую скобку: $(2x - 3)(x - 1)$.
Ответ: $(2x - 3)(x - 1)$.

з) Для разложения $5y^2 + 2y - 3$, найдем корни уравнения $5y^2 + 2y - 3 = 0$.
Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-3) = 4 + 60 = 64$.
Корни: $y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + \sqrt{64}}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$; $y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - \sqrt{64}}{10} = \frac{-10}{10} = -1$.
Подставляем в формулу $a(y - y_1)(y - y_2)$ с $a=5$:
$5y^2 + 2y - 3 = 5(y - \frac{3}{5})(y - (-1)) = 5(y - \frac{3}{5})(y + 1)$.
Внесем множитель 5 в первую скобку: $(5y - 3)(y + 1)$.
Ответ: $(5y - 3)(y + 1)$.

и) Для разложения $-2x^2 + 5x + 7$, найдем корни уравнения $-2x^2 + 5x + 7 = 0$.
Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot (-2) \cdot 7 = 25 + 56 = 81$.
Корни: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + \sqrt{81}}{-4} = \frac{4}{-4} = -1$; $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - \sqrt{81}}{-4} = \frac{-14}{-4} = \frac{7}{2}$.
Подставляем в формулу $a(x - x_1)(x - x_2)$ с $a=-2$:
$-2x^2 + 5x + 7 = -2(x - (-1))(x - \frac{7}{2}) = -2(x + 1)(x - \frac{7}{2})$.
Внесем множитель -2 во вторую скобку: $(x + 1)(-2x + 7) = (x + 1)(7 - 2x)$.
Ответ: $(x + 1)(7 - 2x)$.

77. Разложите на множители квадратный трёхчлен:

а) $2x^2 - 2x + \frac{1}{2};$

б) $-9x^2 + 12x - 4;$

в) $16a^2 + 24a + 9;$

г) $0,25m^2 - 2m + 4.$

а) $2x^2 - 2x + \frac{1}{2}$

Для разложения на множители данного квадратного трёхчлена вынесем за скобки коэффициент 2 при старшем члене:

$2x^2 - 2x + \frac{1}{2} = 2(x^2 - x + \frac{1}{4})$

Выражение в скобках, $x^2 - x + \frac{1}{4}$, представляет собой полный квадрат разности. Воспользуемся формулой сокращённого умножения: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В нашем случае $a=x$ и $b=\frac{1}{2}$. Проверим, соответствует ли средний член формуле: $2ab = 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2} = x$.

Таким образом, $x^2 - x + \frac{1}{4} = (x - \frac{1}{2})^2$.

Подставим полученное выражение обратно:

$2(x - \frac{1}{2})^2$

Ответ: $2(x - \frac{1}{2})^2$

б) $-9x^2 + 12x - 4$

Вынесем за скобки знак минус (-1), чтобы старший коэффициент стал положительным:

$-(9x^2 - 12x + 4)$

Теперь рассмотрим выражение в скобках: $9x^2 - 12x + 4$. Оно является полным квадратом разности, так как соответствует формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Здесь $a^2 = 9x^2$, что означает $a=3x$. Также $b^2=4$, что означает $b=2$.

Проверим удвоенное произведение: $2ab = 2 \cdot 3x \cdot 2 = 12x$.

Так как все условия формулы выполняются, получаем: $9x^2 - 12x + 4 = (3x - 2)^2$.

Возвращая вынесенный минус, получаем итоговое разложение:

$-(3x - 2)^2$

Ответ: $-(3x - 2)^2$

в) $16a^2 + 24a + 9$

Данный трёхчлен можно разложить с помощью формулы квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

В нашем выражении первый член $16a^2 = (4a)^2$ и последний член $9 = 3^2$.

Предположим, что $x=4a$ и $y=3$.

Проверим средний член, который должен быть равен удвоенному произведению $2xy$: $2 \cdot 4a \cdot 3 = 24a$.

Средний член совпадает, следовательно, трёхчлен является полным квадратом суммы:

$16a^2 + 24a + 9 = (4a + 3)^2$

Ответ: $(4a + 3)^2$

г) $0,25m^2 - 2m + 4$

Этот трёхчлен является полным квадратом разности и может быть разложен по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Определим $a$ и $b$. Первый член $0,25m^2 = (0,5m)^2$. Последний член $4 = 2^2$.

Следовательно, можно предположить, что $a=0,5m$ и $b=2$.

Проверим средний член (удвоенное произведение со знаком минус): $-2ab = -2 \cdot 0,5m \cdot 2 = -2m$.

Средний член совпадает с тем, что в исходном выражении. Значит, наш трёхчлен можно свернуть в квадрат разности:

$0,25m^2 - 2m + 4 = (0,5m - 2)^2$

Ответ: $(0,5m - 2)^2$

78. Разложите на множители квадратный трёхчлен:

а) $2x^2 + 12x - 14;$

б) $-m^2 + 5m - 6;$

в) $3x^2 + 5x - 2;$

г) $6x^2 - 13x + 6.$

а) $2x^2 + 12x - 14$

Для разложения квадратного трехчлена $ax^2 + bx + c$ на множители используется формула $a(x-x_1)(x-x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ – корни соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.

Сначала вынесем общий множитель 2 за скобки:

$2x^2 + 12x - 14 = 2(x^2 + 6x - 7)$.

Теперь найдем корни квадратного уравнения $x^2 + 6x - 7 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64$.

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 - 8}{2} = \frac{-14}{2} = -7$.

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 + 8}{2} = \frac{2}{2} = 1$.

Подставим корни в формулу разложения $a(x-x_1)(x-x_2)$ для трехчлена $x^2 + 6x - 7$ (здесь $a=1$):

$x^2 + 6x - 7 = (x - (-7))(x - 1) = (x+7)(x-1)$.

Вернемся к исходному выражению с учетом вынесенного множителя 2:

$2(x+7)(x-1)$.

Ответ: $2(x+7)(x-1)$.

б) $-m^2 + 5m - 6$

Вынесем -1 за скобки, чтобы коэффициент при $m^2$ стал положительным:

$-m^2 + 5m - 6 = -(m^2 - 5m + 6)$.

Найдем корни квадратного уравнения $m^2 - 5m + 6 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$.

Корни уравнения:

$m_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-5) - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$.

$m_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-5) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3$.

Подставим корни в формулу разложения $(m-m_1)(m-m_2)$:

$m^2 - 5m + 6 = (m - 2)(m - 3)$.

Вернемся к исходному выражению с учетом вынесенного множителя -1:

$-(m - 2)(m - 3)$.

Ответ: $-(m - 2)(m - 3)$.

в) $3x^2 + 5x - 2$

Найдем корни квадратного уравнения $3x^2 + 5x - 2 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49$.

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{-5 - 7}{6} = \frac{-12}{6} = -2$.

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{-5 + 7}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Подставим корни в формулу разложения $a(x-x_1)(x-x_2)$:

$3(x - (-2))(x - \frac{1}{3}) = 3(x+2)(x - \frac{1}{3})$.

Чтобы избавиться от дроби, умножим множитель 3 на вторую скобку:

$(x+2) \cdot 3(x - \frac{1}{3}) = (x+2)(3x - 1)$.

Ответ: $(x+2)(3x - 1)$.

г) $6x^2 - 13x + 6$

Найдем корни квадратного уравнения $6x^2 - 13x + 6 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 6 = 169 - 144 = 25$.

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-13) - \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{13 - 5}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$.

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-13) + \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{13 + 5}{12} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}$.

Подставим корни в формулу разложения $a(x-x_1)(x-x_2)$:

$6(x - \frac{2}{3})(x - \frac{3}{2})$.

Чтобы избавиться от дробей, представим множитель 6 как $3 \cdot 2$ и распределим множители по скобкам:

$3 \cdot (x - \frac{2}{3}) \cdot 2 \cdot (x - \frac{3}{2}) = (3x - 2)(2x - 3)$.

Ответ: $(3x-2)(2x-3)$.