Номер 64, страница 25 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

64. Выделите квадрат двучлена из квадратного трёхчлена:

a) $x^2 - 6x - 2$;

б) $x^2 + 5x + 20$;

в) $2x^2 - 4x + 10$;

г) $\frac{1}{2}x^2 + x - 6$.

а) $x^2 - 6x - 2$

Для выделения полного квадрата из трёхчлена $x^2 - 6x - 2$ будем использовать формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В нашем выражении $x^2$ соответствует $a^2$, а $-6x$ соответствует $-2ab$. Если $a=x$, то $-2xb = -6x$, откуда находим, что $b=3$.

Для получения полного квадрата $(x-3)^2$ нам необходим член $b^2 = 3^2 = 9$. Чтобы не изменить исходное выражение, мы добавим и вычтем 9:

$x^2 - 6x - 2 = (x^2 - 6x + 9) - 9 - 2$

Теперь выражение в скобках представляет собой полный квадрат $(x-3)^2$. Упростим оставшуюся часть:

$(x-3)^2 - 11$

Ответ: $(x-3)^2 - 11$

б) $x^2 + 5x + 20$

Для выделения полного квадрата из трёхчлена $x^2 + 5x + 20$ будем использовать формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

В нашем выражении $x^2$ соответствует $a^2$, а $5x$ соответствует $2ab$. Если $a=x$, то $2xb = 5x$, откуда находим, что $b=\frac{5}{2}$.

Для получения полного квадрата $(x+\frac{5}{2})^2$ нам необходим член $b^2 = (\frac{5}{2})^2 = \frac{25}{4}$. Добавим и вычтем это число:

$x^2 + 5x + 20 = (x^2 + 5x + \frac{25}{4}) - \frac{25}{4} + 20$

Выражение в скобках теперь является полным квадратом $(x+\frac{5}{2})^2$. Упростим оставшиеся константы:

$(x+\frac{5}{2})^2 - \frac{25}{4} + \frac{80}{4} = (x+\frac{5}{2})^2 + \frac{55}{4}$

Ответ: $(x+\frac{5}{2})^2 + \frac{55}{4}$

в) $2x^2 - 4x + 10$

Поскольку коэффициент при $x^2$ не равен 1, сначала вынесем его за скобки из первых двух членов:

$2(x^2 - 2x) + 10$

Теперь выделим полный квадрат для выражения в скобках $x^2 - 2x$. Используя формулу квадрата разности, где $a=x$ и $2ab=2x$, получаем $b=1$.

Необходимый член для полного квадрата — $b^2 = 1^2 = 1$. Добавим и вычтем 1 внутри скобок:

$2(x^2 - 2x + 1 - 1) + 10$

Сгруппируем члены для образования полного квадрата:

$2((x^2 - 2x + 1) - 1) + 10 = 2((x-1)^2 - 1) + 10$

Раскроем внешние скобки и упростим выражение:

$2(x-1)^2 - 2 \cdot 1 + 10 = 2(x-1)^2 + 8$

Ответ: $2(x-1)^2 + 8$

г) $\frac{1}{2}x^2 + x - 6$

Сначала вынесем коэффициент $\frac{1}{2}$ при $x^2$ за скобки из первых двух членов:

$\frac{1}{2}(x^2 + 2x) - 6$

Выделим полный квадрат для выражения в скобках $x^2 + 2x$. Используя формулу квадрата суммы, где $a=x$ и $2ab=2x$, получаем $b=1$.

Необходимый член для полного квадрата — $b^2 = 1^2 = 1$. Добавим и вычтем 1 внутри скобок:

$\frac{1}{2}(x^2 + 2x + 1 - 1) - 6$

Сгруппируем члены для образования полного квадрата:

$\frac{1}{2}((x^2 + 2x + 1) - 1) - 6 = \frac{1}{2}((x+1)^2 - 1) - 6$

Раскроем внешние скобки и упростим выражение:

$\frac{1}{2}(x+1)^2 - \frac{1}{2} \cdot 1 - 6 = \frac{1}{2}(x+1)^2 - \frac{1}{2} - 6$

Приведем константы к общему знаменателю:

$\frac{1}{2}(x+1)^2 - \frac{1}{2} - \frac{12}{2} = \frac{1}{2}(x+1)^2 - \frac{13}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}(x+1)^2 - \frac{13}{2}$