Номер 65, страница 25 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

65. Выделите квадрат двучлена из квадратного трёхчлена:

a) $x^2 - 10x + 10;$

б) $x^2 + 3x - 1;$

в) $3x^2 + 6x - 3;$

г) $\frac{1}{4}x^2 - x + 2.$

а) Чтобы выделить квадрат двучлена из выражения $x^2 - 10x + 10$, воспользуемся формулой квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
В нашем выражении $x^2$ соответствует $a^2$, следовательно, $a=x$. Член $-10x$ соответствует $-2ab$. Подставляя $a=x$, получаем $-2xb = -10x$, откуда находим $b=5$.
Для получения полного квадрата нам необходимо слагаемое $b^2 = 5^2 = 25$.
Представим исходный трёхчлен, прибавив и отняв 25:
$x^2 - 10x + 10 = (x^2 - 10x + 25) - 25 + 10$
Выражение в скобках теперь является полным квадратом $(x-5)^2$.
$(x^2 - 10x + 25) - 25 + 10 = (x-5)^2 - 15$.
Ответ: $(x-5)^2 - 15$

б) Чтобы выделить квадрат двучлена из выражения $x^2 + 3x - 1$, воспользуемся формулой квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Здесь $a^2 = x^2$, значит $a=x$. Член $3x$ соответствует $2ab$. Подставляя $a=x$, получаем $2xb = 3x$, откуда $b = \frac{3}{2}$.
Для полного квадрата нам необходимо слагаемое $b^2 = (\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4}$.
Прибавим и отнимем $\frac{9}{4}$ в исходном выражении:
$x^2 + 3x - 1 = (x^2 + 3x + \frac{9}{4}) - \frac{9}{4} - 1$
Выражение в скобках является полным квадратом $(x+\frac{3}{2})^2$.
$(x^2 + 3x + \frac{9}{4}) - \frac{9}{4} - 1 = (x+\frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} - \frac{4}{4} = (x+\frac{3}{2})^2 - \frac{13}{4}$.
Ответ: $(x+\frac{3}{2})^2 - \frac{13}{4}$

в) Для выделения квадрата двучлена из выражения $3x^2 + 6x - 3$ сначала вынесем за скобки коэффициент при $x^2$, то есть 3:
$3x^2 + 6x - 3 = 3(x^2 + 2x - 1)$.
Теперь выделим квадрат двучлена для выражения в скобках $x^2 + 2x - 1$, используя формулу $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Здесь $a=x$, а $2xb = 2x$, откуда $b=1$. Нужное слагаемое $b^2=1^2=1$.
Прибавим и отнимем 1 внутри скобок:
$3(x^2 + 2x - 1) = 3((x^2 + 2x + 1) - 1 - 1)$
Группируем слагаемые в скобках:
$3((x^2 + 2x + 1) - 2) = 3((x+1)^2 - 2)$
Теперь раскроем внешние скобки, умножив на 3:
$3(x+1)^2 - 3 \cdot 2 = 3(x+1)^2 - 6$.
Ответ: $3(x+1)^2 - 6$

г) Для выделения квадрата двучлена из выражения $\frac{1}{4}x^2 - x + 2$ вынесем за скобки коэффициент $\frac{1}{4}$:
$\frac{1}{4}x^2 - x + 2 = \frac{1}{4}(x^2 - 4x + 8)$.
Теперь работаем с выражением в скобках $x^2 - 4x + 8$, используя формулу $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Здесь $a=x$, а $-2xb = -4x$, откуда $b=2$. Нужное слагаемое $b^2 = 2^2 = 4$.
Прибавим и отнимем 4 внутри скобок:
$\frac{1}{4}(x^2 - 4x + 8) = \frac{1}{4}((x^2 - 4x + 4) - 4 + 8)$
Группируем слагаемые в скобках:
$\frac{1}{4}((x^2 - 4x + 4) + 4) = \frac{1}{4}((x-2)^2 + 4)$
Раскроем внешние скобки, умножив на $\frac{1}{4}$:
$\frac{1}{4}(x-2)^2 + \frac{1}{4} \cdot 4 = \frac{1}{4}(x-2)^2 + 1$.
Ответ: $\frac{1}{4}(x-2)^2 + 1$