Номер 67, страница 26 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

67. Даны квадратные трёхчлены

$x^2 - 6x + 11$ и $-x^2 + 6x - 11.$

Докажите, что первый из них не принимает отрицательных значений, а второй — положительных.

Доказательство того, что первый трёхчлен $x^2 - 6x + 11$ не принимает отрицательных значений

Для доказательства этого утверждения преобразуем данный квадратный трёхчлен, выделив в нём полный квадрат. Это позволит нам определить его наименьшее возможное значение.

$x^2 - 6x + 11 = (x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2) - 3^2 + 11 = (x - 3)^2 - 9 + 11 = (x - 3)^2 + 2$.

Рассмотрим полученное выражение $(x - 3)^2 + 2$. Выражение $(x - 3)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому его значение всегда больше или равно нулю для любого действительного $x$: $(x - 3)^2 \ge 0$.

Наименьшее значение, которое может принять слагаемое $(x - 3)^2$, равно 0 (это достигается при $x=3$). Соответственно, наименьшее значение всего выражения $(x - 3)^2 + 2$ равно $0 + 2 = 2$.

Таким образом, для любого действительного $x$ выполняется неравенство $x^2 - 6x + 11 \ge 2$. Поскольку $2$ — число положительное, значения трёхчлена всегда положительны, а значит, он не может принимать отрицательных значений.

Ответ: доказано, что трёхчлен $x^2 - 6x + 11$ не принимает отрицательных значений.

Доказательство того, что второй трёхчлен $-x^2 + 6x - 11$ не принимает положительных значений

Для доказательства этого утверждения также преобразуем данный трёхчлен. Для удобства сначала вынесем знак минус за скобки:

$-x^2 + 6x - 11 = -(x^2 - 6x + 11)$.

Выражение в скобках нам уже знакомо из первой части доказательства. Мы установили, что $x^2 - 6x + 11 = (x - 3)^2 + 2$. Подставим это в наше выражение:

$-(x^2 - 6x + 11) = -((x - 3)^2 + 2) = -(x - 3)^2 - 2$.

Рассмотрим полученное выражение $-(x - 3)^2 - 2$. Как было установлено ранее, $(x - 3)^2 \ge 0$. Если умножить это неравенство на $-1$, знак неравенства изменится на противоположный: $-(x - 3)^2 \le 0$.

Наибольшее значение, которое может принять слагаемое $-(x - 3)^2$, равно 0 (при $x=3$). Соответственно, наибольшее значение всего выражения $-(x - 3)^2 - 2$ равно $0 - 2 = -2$.

Таким образом, для любого действительного $x$ выполняется неравенство $-x^2 + 6x - 11 \le -2$. Поскольку $-2$ — число отрицательное, значения трёхчлена всегда отрицательны, а значит, он не может принимать положительных значений.

Ответ: доказано, что трёхчлен $-x^2 + 6x - 11$ не принимает положительных значений.