Номер 71, страница 26 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

71. С башни выпустили вверх стрелу из лука. Если начальная скорость стрелы равна 50 м/с, высота башни 20 м и t (с) — время полёта стрелы, то расстояние h (м) стрелы от поверхности земли в момент времени t (с) можно найти по формуле $h = -5t^2 + 50t + 20$ (приближённое значение ускорения свободного падения считается равным 10 м/с²). Какой наибольшей высоты достигнет стрела?

Для решения задачи используется формула, описывающая высоту стрелы $h$ (в метрах) в зависимости от времени полета $t$ (в секундах):

$h(t) = -5t^2 + 50t + 20$

Эта зависимость является квадратичной функцией. Её график — парабола. Поскольку коэффициент при $t^2$ отрицательный ($a = -5$), ветви параболы направлены вниз. Это означает, что функция имеет максимальное значение, которое достигается в вершине параболы. Наибольшая высота, которой достигнет стрела, как раз и является значением функции в этой вершине.

Координата $t$ вершины параболы, заданной уравнением $y = ax^2 + bx + c$, находится по формуле $t_{вершины} = -\frac{b}{2a}$. Эта координата покажет нам, в какой момент времени стрела достигнет максимальной высоты.

В нашем случае коэффициенты равны: $a = -5$, $b = 50$.

Найдем время достижения максимальной высоты:

$t_{вершины} = -\frac{50}{2 \cdot (-5)} = -\frac{50}{-10} = 5$ (с)

Теперь, зная время, мы можем найти саму максимальную высоту, подставив значение $t = 5$ с в исходную формулу для высоты $h(t)$:

$h_{макс} = h(5) = -5 \cdot (5)^2 + 50 \cdot 5 + 20$

Проведем вычисления:

$h_{макс} = -5 \cdot 25 + 250 + 20$

$h_{макс} = -125 + 250 + 20$

$h_{макс} = 125 + 20$

$h_{макс} = 145$ (м)

Таким образом, наибольшая высота, которой достигнет стрела, составляет 145 метров.

Ответ: 145 м.