Номер 75, страница 26 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

75. Разложите на множители многочлен:

а) $ab + 3b - 5a - 15;$

б) $2xy - y + 8x - 4.$

а) Чтобы разложить на множители многочлен $ab + 3b - 5a - 15$, воспользуемся методом группировки. Этот метод заключается в объединении членов многочлена в группы таким образом, чтобы из каждой группы можно было вынести общий множитель, а затем вынести общий множитель для получившихся групп.

1. Сгруппируем первые два члена и последние два члена: $(ab + 3b) + (-5a - 15)$.

2. В первой группе $(ab + 3b)$ вынесем за скобки общий множитель $b$: $b(a + 3)$.

3. Во второй группе $(-5a - 15)$ вынесем за скобки общий множитель $-5$. Обратите внимание, что при вынесении отрицательного числа знаки в скобках меняются на противоположные: $-5(a + 3)$.

4. Теперь исходное выражение выглядит так: $b(a + 3) - 5(a + 3)$.

5. Мы видим, что у получившихся слагаемых есть общий множитель — это выражение в скобках $(a + 3)$. Вынесем его за скобки:

$(a + 3)(b - 5)$

Проверим результат, раскрыв скобки: $(a + 3)(b - 5) = a \cdot b + a \cdot (-5) + 3 \cdot b + 3 \cdot (-5) = ab - 5a + 3b - 15$. После перестановки слагаемых получаем исходный многочлен.

Ответ: $(a + 3)(b - 5)$.

б) Разложим на множители многочлен $2xy - y + 8x - 4$, также используя метод группировки.

1. Сгруппируем попарно члены многочлена: $(2xy - y) + (8x - 4)$.

2. В первой группе $(2xy - y)$ вынесем за скобки общий множитель $y$: $y(2x - 1)$.

3. Во второй группе $(8x - 4)$ вынесем за скобки общий множитель $4$: $4(2x - 1)$.

4. Исходное выражение теперь имеет вид: $y(2x - 1) + 4(2x - 1)$.

5. Общим множителем для обоих слагаемых является выражение $(2x - 1)$. Вынесем его за скобки:

$(2x - 1)(y + 4)$

Проверим результат: $(2x - 1)(y + 4) = 2x \cdot y + 2x \cdot 4 - 1 \cdot y - 1 \cdot 4 = 2xy + 8x - y - 4$. Результат совпадает с исходным многочленом.

Ответ: $(2x - 1)(y + 4)$.