Номер 62, страница 25 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

62. Имеет ли квадратный трёхчлен корни и если имеет, то сколько:

а) $-4x^2 - 4x + 3$;

б) $4x^2 - 4x + 3$;

в) $9x^2 - 12x + 4$;

г) $9x^2 - 12x - 4?$

Для того чтобы определить, имеет ли квадратный трёхчлен корни и сколько их, нужно вычислить его дискриминант. Квадратный трёхчлен имеет общий вид $ax^2 + bx + c$. Дискриминант вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$.

• Если $D > 0$, трёхчлен имеет два различных действительных корня.
• Если $D = 0$, трёхчлен имеет один действительный корень (или два совпадающих).
• Если $D < 0$, трёхчлен не имеет действительных корней.

Применим это правило к каждому из заданных трёхчленов.

а) $-4x^2 - 4x + 3$

В данном трёхчлене коэффициенты равны: $a = -4$, $b = -4$, $c = 3$.
Найдём дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot (-4) \cdot 3 = 16 - (-48) = 16 + 48 = 64$.
Поскольку $D = 64 > 0$, данный трёхчлен имеет два различных корня.
Ответ: имеет два корня.

б) $4x^2 - 4x + 3$

Здесь коэффициенты: $a = 4$, $b = -4$, $c = 3$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 16 - 48 = -32$.
Поскольку $D = -32 < 0$, данный трёхчлен не имеет действительных корней.
Ответ: не имеет корней.

в) $9x^2 - 12x + 4$

Коэффициенты данного трёхчлена: $a = 9$, $b = -12$, $c = 4$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 4 = 144 - 144 = 0$.
Поскольку $D = 0$, трёхчлен имеет один действительный корень. Стоит отметить, что этот трёхчлен является полным квадратом разности: $9x^2 - 12x + 4 = (3x-2)^2$.
Ответ: имеет один корень.

г) $9x^2 - 12x - 4$

Коэффициенты: $a = 9$, $b = -12$, $c = -4$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-4) = 144 - (-144) = 144 + 144 = 288$.
Поскольку $D = 288 > 0$, данный трёхчлен имеет два различных корня.
Ответ: имеет два корня.