Номер 63, страница 25 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

63. Сумма коэффициентов квадратного трёхчлена равна нулю, а его свободный член в 4 раза больше старшего коэффициента. Найдите корни этого трёхчлена.

Обозначим искомый квадратный трёхчлен в общем виде: $ax^2 + bx + c$, где $a$, $b$, и $c$ — коэффициенты, причём $a \neq 0$.

Согласно условию задачи, у нас есть два утверждения:

1. Сумма коэффициентов равна нулю: $a + b + c = 0$.
2. Свободный член ($c$) в 4 раза больше старшего коэффициента ($a$): $c = 4a$.

Подставим второе уравнение в первое, чтобы выразить коэффициент $b$ через $a$:

$a + b + (4a) = 0$

$5a + b = 0$

$b = -5a$

Теперь мы можем записать наш квадратный трёхчлен, используя только коэффициент $a$:

$ax^2 + (-5a)x + 4a$

Чтобы найти корни этого трёхчлена, нужно решить уравнение:

$ax^2 - 5ax + 4a = 0$

Поскольку $a$ — старший коэффициент квадратного трёхчлена, он не может быть равен нулю ($a \neq 0$). Поэтому мы можем разделить обе части уравнения на $a$:

$x^2 - 5x + 4 = 0$

Это приведённое квадратное уравнение можно решить несколькими способами.

Способ 1: Использование теоремы Виета

Для уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ справедливы соотношения:

$x_1 + x_2 = -p$

$x_1 \cdot x_2 = q$

В нашем случае $p = -5$ и $q = 4$. Значит:

$x_1 + x_2 = 5$

$x_1 \cdot x_2 = 4$

Подбором находим, что корнями являются числа 1 и 4, так как $1+4=5$ и $1 \cdot 4=4$.

Способ 2: Через дискриминант

Для уравнения $x^2 - 5x + 4 = 0$ найдём дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9$

Теперь найдём корни по формуле:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{5 \pm 3}{2}$

$x_1 = \frac{5+3}{2} = \frac{8}{2} = 4$

$x_2 = \frac{5-3}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Способ 3: Используя свойство суммы коэффициентов

Если сумма коэффициентов многочлена равна нулю ($a+b+c=0$), то $x=1$ всегда является одним из его корней. Проверим: $a(1)^2 + b(1) + c = a+b+c = 0$. Значит, $x_1 = 1$.

По теореме Виета для исходного трёхчлена $ax^2+bx+c=0$ произведение корней равно $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$.

Так как $x_1 = 1$, получаем $1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$, то есть $x_2 = \frac{c}{a}$.

Из условия задачи мы знаем, что $c=4a$. Отсюда $\frac{c}{a}=4$.

Следовательно, второй корень $x_2 = 4$.

Все способы приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 1; 4.