Номер 60, страница 25 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

60. Найдите корни квадратного трёхчлена:

а) $10x^2 + 5x - 5$;

б) $-2x^2 + 12x - 18$;

в) $x^2 - 2x - 4$;

г) $12x^2 - 12$.

а) $10x^2 + 5x - 5$

Чтобы найти корни квадратного трёхчлена, приравняем его к нулю и решим полученное уравнение:

$10x^2 + 5x - 5 = 0$

Для упрощения разделим все члены уравнения на 5:

$2x^2 + x - 1 = 0$

Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где коэффициенты $a=2$, $b=1$, $c=-1$.

Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 - 3}{4} = \frac{-4}{4} = -1$

Ответ: $-1; \frac{1}{2}$.

б) $-2x^2 + 12x - 18$

Приравняем трёхчлен к нулю:

$-2x^2 + 12x - 18 = 0$

Разделим все члены уравнения на -2:

$x^2 - 6x + 9 = 0$

Можно заметить, что левая часть уравнения является полным квадратом разности:

$(x-3)^2 = 0$

Это уравнение имеет один корень (или два совпадающих корня):

$x - 3 = 0 \implies x = 3$

Ответ: $3$.

в) $x^2 - 2x - 4$

Приравняем трёхчлен к нулю:

$x^2 - 2x - 4 = 0$

Это квадратное уравнение с коэффициентами $a=1$, $b=-2$, $c=-4$.

Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 4 + 16 = 20$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot 5}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 1 \pm \sqrt{5}$

Таким образом, корни уравнения: $x_1 = 1 + \sqrt{5}$ и $x_2 = 1 - \sqrt{5}$.

Ответ: $1 - \sqrt{5}; 1 + \sqrt{5}$.

г) $12x^2 - 12$

Приравняем трёхчлен к нулю:

$12x^2 - 12 = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Перенесем свободный член в правую часть и разделим на 12:

$12x^2 = 12$

$x^2 = 1$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем два корня:

$x = \pm 1$

Ответ: $-1; 1$.