Номер 210, страница 69 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

210. Какие из функций, заданных фор- мулами $y = x^2$, $y = x^2 + 5$, $y = 2x + 5$, $y = x^3$, $y = -x^2$, $y = -x^2 - 4$, $y = \sqrt{x}$, $y = \sqrt{x} + 1$, $y = x^4 + x^2 + 6$, сохра- няют знак на всей области опреде- ления?

Для того чтобы определить, какие из заданных функций сохраняют знак на всей области определения, необходимо проанализировать каждую функцию отдельно.

$y = x^2$

Область определения функции — все действительные числа, $D(y): x \in (-\infty; +\infty)$. Квадрат любого действительного числа является неотрицательным, то есть $x^2 \ge 0$ для всех $x$. Функция принимает значение $0$ при $x=0$ и положительные значения при всех остальных $x$. Таким образом, функция является неотрицательной на всей области определения и сохраняет свой знак.

Ответ: сохраняет знак.

$y = x^2 + 5$

Область определения функции — все действительные числа, $D(y): x \in (-\infty; +\infty)$. Поскольку $x^2 \ge 0$, то $x^2 + 5 \ge 5$. Это означает, что значения функции всегда строго больше нуля. Следовательно, функция сохраняет свой знак (положительна).

Ответ: сохраняет знак.

$y = 2x + 5$

Область определения функции — все действительные числа, $D(y): x \in (-\infty; +\infty)$. Это линейная функция. Она принимает как положительные, так и отрицательные значения. Например, при $x=0$, $y=5$ (положительное значение), а при $x=-3$, $y = 2(-3) + 5 = -1$ (отрицательное значение). Функция меняет знак в точке $x = -2.5$.

Ответ: не сохраняет знак.

$y = x^3$

Область определения функции — все действительные числа, $D(y): x \in (-\infty; +\infty)$. Если $x > 0$, то $y > 0$. Если $x < 0$, то $y < 0$. Функция принимает значения разных знаков.

Ответ: не сохраняет знак.

$y = -x^2$

Область определения функции — все действительные числа, $D(y): x \in (-\infty; +\infty)$. Так как $x^2 \ge 0$, то $-x^2 \le 0$. Функция принимает значение $0$ при $x=0$ и отрицательные значения при всех остальных $x$. Таким образом, функция является неположительной на всей области определения и сохраняет свой знак.

Ответ: сохраняет знак.

$y = -x^2 - 4$

Область определения функции — все действительные числа, $D(y): x \in (-\infty; +\infty)$. Так как $x^2 \ge 0$, то $-x^2 \le 0$. Следовательно, $-x^2 - 4 \le -4$. Значения функции всегда строго меньше нуля. Следовательно, функция сохраняет свой знак (отрицательна).

Ответ: сохраняет знак.

$y = \sqrt{x}$

Область определения функции — все неотрицательные числа, $D(y): x \in [0; +\infty)$. По определению арифметического квадратного корня, его значение всегда неотрицательно, то есть $\sqrt{x} \ge 0$. Функция сохраняет свой знак (неотрицательна).

Ответ: сохраняет знак.

$y = \sqrt{x} + 1$

Область определения функции — $D(y): x \in [0; +\infty)$. Поскольку $\sqrt{x} \ge 0$, то $\sqrt{x} + 1 \ge 1$. Значения функции всегда строго больше нуля. Следовательно, функция сохраняет свой знак (положительна).

Ответ: сохраняет знак.

$y = x^4 + x^2 + 6$

Область определения функции — все действительные числа, $D(y): x \in (-\infty; +\infty)$. Так как $x^4 \ge 0$ и $x^2 \ge 0$, то их сумма $x^4 + x^2 \ge 0$. Следовательно, $x^4 + x^2 + 6 \ge 6$. Значения функции всегда строго больше нуля. Следовательно, функция сохраняет свой знак (положительна).

Ответ: сохраняет знак.

Таким образом, функции, сохраняющие знак на всей области определения:

• $y = x^2$
• $y = x^2 + 5$
• $y = -x^2$
• $y = -x^2 - 4$
• $y = \sqrt{x}$
• $y = \sqrt{x} + 1$
• $y = x^4 + x^2 + 6$