Номер 213, страница 69 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

213. Постройте график функции $y = \frac{6}{|x|}$ и опишите её свойства.

1.

2.

3.

Рис. 50

Для построения графика функции $y = \frac{6}{|x|}$ и описания её свойств, выполним следующие шаги.

Построение графика

График функции можно построить, проанализировав её вид в зависимости от знака $x$. Функция $y = \frac{6}{|x|}$ является чётной, так как $y(-x) = \frac{6}{|-x|} = \frac{6}{|x|} = y(x)$. Это означает, что её график симметричен относительно оси ординат ($Oy$). Поэтому достаточно построить график для $x > 0$ и затем отразить его симметрично относительно оси $Oy$.

1. Построение графика для $x > 0$.
   При $x > 0$, модуль $|x| = x$, и функция принимает вид $y = \frac{6}{x}$. Это уравнение обратной пропорциональности (гипербола). Так как мы рассматриваем только $x > 0$, нас интересует ветвь гиперболы, расположенная в первом координатном квадранте.
2. Нахождение ключевых точек.
   Составим таблицу значений для нескольких точек при $x > 0$:
   • Если $x = 1$, то $y = \frac{6}{1} = 6$. Точка $(1, 6)$.
   • Если $x = 2$, то $y = \frac{6}{2} = 3$. Точка $(2, 3)$.
   • Если $x = 3$, то $y = \frac{6}{3} = 2$. Точка $(3, 2)$.
   • Если $x = 6$, то $y = \frac{6}{6} = 1$. Точка $(6, 1)$.
   Соединив эти точки плавной кривой, мы получим ветвь гиперболы в первой четверти.
3. Построение графика для $x < 0$.
   Используя свойство чётности, отражаем построенную ветвь симметрично относительно оси $Oy$. Таким образом, точки $(1, 6), (2, 3), (3, 2), (6, 1)$ переходят в точки $(-1, 6), (-2, 3), (-3, 2), (-6, 1)$. Соединив их, получаем вторую ветвь графика во второй четверти.

Итоговый график состоит из двух ветвей гиперболы, расположенных в первом и втором координатных квадрантах. Оси координат являются асимптотами графика.

Свойства функции

Опишем основные свойства функции $y = \frac{6}{|x|}$:

1. Область определения.
   Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $|x| \neq 0$, что означает $x \neq 0$.
   Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
2. Область значений.
   Числитель $6$ — положительное число. Знаменатель $|x|$ также всегда положителен для любого $x$ из области определения. Следовательно, значение функции $y$ всегда будет положительным.
   Область значений: $E(y) = (0; +\infty)$.
3. Чётность.
   Как было показано ранее, $y(-x) = y(x)$, следовательно, функция является чётной. Её график симметричен относительно оси $Oy$.
4. Нули функции.
   Функция равна нулю, если её числитель равен нулю. Так как числитель равен $6$, он никогда не равен нулю. У функции нет нулей, график не пересекает ось $Ox$.
5. Промежутки знакопостоянства.
   Функция $y > 0$ на всей своей области определения, то есть при $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
6. Промежутки монотонности (возрастания и убывания).
   • На промежутке $(-\infty; 0)$ функция возрастает (при увеличении $x$ от $-\infty$ до $0$, значения $y$ увеличиваются от $0$ до $+\infty$).
   • На промежутке $(0; +\infty)$ функция убывает (при увеличении $x$ от $0$ до $+\infty$, значения $y$ уменьшаются от $+\infty$ до $0$).
7. Экстремумы.
   У функции нет точек минимума и максимума.
8. Асимптоты.
   • Вертикальная асимптота: $x = 0$ (ось $Oy$), так как при $x \to 0$, $y \to +\infty$.
   • Горизонтальная асимптота: $y = 0$ (ось $Ox$), так как при $x \to \pm\infty$, $y \to 0$.

Ответ: График функции $y = \frac{6}{|x|}$ представляет собой две симметричные относительно оси $Oy$ ветви гиперболы, расположенные в I и II координатных четвертях. Основные свойства функции: область определения $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$; область значений $E(y) = (0; +\infty)$; функция чётная; нулей не имеет; положительна на всей области определения; возрастает на интервале $(-\infty; 0)$ и убывает на интервале $(0; +\infty)$; не имеет экстремумов; имеет вертикальную асимптоту $x=0$ и горизонтальную асимптоту $y=0$.