Номер 218, страница 70 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

218. Найдите трёхчлен вида $x^2 + px + q$, корнями которого являются не равные нулю числа $p$ и $q$.

Пусть дан приведённый квадратный трёхчлен $x^2 + px + q$. По условию, его корнями являются числа $x_1 = p$ и $x_2 = q$, причём дано, что $p \neq 0$ и $q \neq 0$.

Для приведённого квадратного уравнения вида $x^2 + bx + c = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ по теореме Виета выполняются следующие соотношения:
$x_1 + x_2 = -b$
$x_1 \cdot x_2 = c$

В нашем случае коэффициенты трёхчлена равны $b=p$ и $c=q$, а корни — это $p$ и $q$. Применим теорему Виета:

1. Сумма корней: $p + q = -p$
2. Произведение корней: $p \cdot q = q$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными $p$ и $q$:
$\begin{cases} p + q = -p \\ pq = q \end{cases}$

Начнём решение системы со второго уравнения, так как оно проще:
$pq = q$
$pq - q = 0$
$q(p - 1) = 0$
Это уравнение имеет два возможных решения: либо $q = 0$, либо $p - 1 = 0$.
По условию задачи, корень $q$ не равен нулю ($q \neq 0$), следовательно, единственно возможным решением является $p - 1 = 0$, откуда $p = 1$.

Теперь, зная значение $p$, подставим его в первое уравнение системы, чтобы найти $q$:
$p + q = -p$
$1 + q = -1$
$q = -1 - 1$
$q = -2$

Таким образом, мы нашли искомые числа: $p=1$ и $q=-2$. Оба они не равны нулю, что соответствует условию.
Подставим найденные значения $p$ и $q$ в исходный трёхчлен $x^2 + px + q$:
$x^2 + (1)x + (-2)$

Искомый трёхчлен: $x^2 + x - 2$.

Ответ: $x^2 + x - 2$