Номер 220, страница 70 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

220. Выделите квадрат двучлена из квадратного трёхчлена:

а) $2x^2 - 3x + 7;$

б) $-3x^2 + 4x - 1;$

в) $5x^2 - 3x;$

г) $-4x^2 + 8x.$

а) $2x^2 - 3x + 7$

Чтобы выделить квадрат двучлена, сначала вынесем коэффициент при $x^2$ за скобки:
$2x^2 - 3x + 7 = 2(x^2 - \frac{3}{2}x) + 7$

Теперь выражение в скобках $x^2 - \frac{3}{2}x$ нужно дополнить до полного квадрата. Используем формулу $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. В нашем случае $a=x$, а член $-2ab$ соответствует $-\frac{3}{2}x$. Отсюда находим $b$:
$2xb = \frac{3}{2}x \implies b = \frac{3}{4}$

Для полного квадрата нам не хватает слагаемого $b^2 = (\frac{3}{4})^2 = \frac{9}{16}$. Добавим и вычтем его внутри скобок, чтобы не изменить выражение:
$2(x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{9}{16} - \frac{9}{16}) + 7$

Теперь первые три слагаемых в скобках образуют полный квадрат $(x - \frac{3}{4})^2$. Преобразуем выражение:
$2((x - \frac{3}{4})^2 - \frac{9}{16}) + 7$

Раскроем внешние скобки и приведем подобные слагаемые:
$2(x - \frac{3}{4})^2 - 2 \cdot \frac{9}{16} + 7 = 2(x - \frac{3}{4})^2 - \frac{18}{16} + 7 = 2(x - \frac{3}{4})^2 - \frac{9}{8} + 7 = 2(x - \frac{3}{4})^2 + \frac{56-9}{8} = 2(x - \frac{3}{4})^2 + \frac{47}{8}$

Ответ: $2(x - \frac{3}{4})^2 + \frac{47}{8}$

б) $-3x^2 + 4x - 1$

Вынесем коэффициент $-3$ за скобки:
$-3(x^2 - \frac{4}{3}x) - 1$

Дополним выражение в скобках до полного квадрата. У нас $2xb = \frac{4}{3}x$, откуда $b = \frac{2}{3}$. Необходимое слагаемое $b^2 = (\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9}$. Добавим и вычтем его:
$-3(x^2 - \frac{4}{3}x + \frac{4}{9} - \frac{4}{9}) - 1$

Сгруппируем слагаемые в полный квадрат $(x - \frac{2}{3})^2$:
$-3((x - \frac{2}{3})^2 - \frac{4}{9}) - 1$

Раскроем скобки и упростим:
$-3(x - \frac{2}{3})^2 + (-3)(-\frac{4}{9}) - 1 = -3(x - \frac{2}{3})^2 + \frac{12}{9} - 1 = -3(x - \frac{2}{3})^2 + \frac{4}{3} - 1 = -3(x - \frac{2}{3})^2 + \frac{1}{3}$

Ответ: $-3(x - \frac{2}{3})^2 + \frac{1}{3}$

в) $5x^2 - 3x$

Вынесем коэффициент $5$ за скобки:
$5(x^2 - \frac{3}{5}x)$

Дополним выражение в скобках до полного квадрата. У нас $2xb = \frac{3}{5}x$, откуда $b = \frac{3}{10}$. Необходимое слагаемое $b^2 = (\frac{3}{10})^2 = \frac{9}{100}$. Добавим и вычтем его:
$5(x^2 - \frac{3}{5}x + \frac{9}{100} - \frac{9}{100})$

Сгруппируем слагаемые в полный квадрат $(x - \frac{3}{10})^2$:
$5((x - \frac{3}{10})^2 - \frac{9}{100})$

Раскроем скобки:
$5(x - \frac{3}{10})^2 - 5 \cdot \frac{9}{100} = 5(x - \frac{3}{10})^2 - \frac{45}{100} = 5(x - \frac{3}{10})^2 - \frac{9}{20}$

Ответ: $5(x - \frac{3}{10})^2 - \frac{9}{20}$

г) $-4x^2 + 8x$

Вынесем коэффициент $-4$ за скобки:
$-4(x^2 - 2x)$

Дополним выражение в скобках до полного квадрата. У нас $2xb = 2x$, откуда $b = 1$. Необходимое слагаемое $b^2 = 1^2 = 1$. Добавим и вычтем его:
$-4(x^2 - 2x + 1 - 1)$

Сгруппируем слагаемые в полный квадрат $(x - 1)^2$:
$-4((x - 1)^2 - 1)$

Раскроем скобки:
$-4(x - 1)^2 + (-4)(-1) = -4(x - 1)^2 + 4$

Ответ: $-4(x - 1)^2 + 4$