Номер 223, страница 70 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

223. Сумма положительных чисел $a$ и $b$ равна 40. При каких значениях $a$ и $b$ их произведение будет наибольшим?

По условию задачи, у нас есть два положительных числа $a$ и $b$ ($a > 0, b > 0$), сумма которых равна 40:

$a + b = 40$

Необходимо найти такие значения $a$ и $b$, при которых их произведение $P = a \cdot b$ будет максимальным. Эту задачу можно решить несколькими способами.

Способ 1. Через квадратичную функцию

Из уравнения $a + b = 40$ выразим одну переменную через другую, например, $b$:

$b = 40 - a$

Подставим это выражение в формулу для произведения $P$:

$P(a) = a \cdot (40 - a) = 40a - a^2$

Мы получили квадратичную функцию $P(a) = -a^2 + 40a$. График этой функции — парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при старшем члене ($a^2$) отрицателен. Максимальное значение такой функции достигается в её вершине.

Абсцисса вершины параболы $y = Ax^2 + Bx + C$ находится по формуле $x_0 = -\frac{B}{2A}$. Для нашей функции $A = -1$ и $B = 40$. Найдем значение $a$, при котором произведение будет максимальным:

$a = -\frac{40}{2 \cdot (-1)} = -\frac{40}{-2} = 20$

Теперь найдем соответствующее значение $b$:

$b = 40 - a = 40 - 20 = 20$

Таким образом, произведение достигает максимума при $a=20$ и $b=20$.

Способ 2. С помощью неравенства о средних (неравенство Коши)

Неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим для двух положительных чисел $a$ и $b$ утверждает, что среднее арифметическое всегда больше или равно среднему геометрическому:

$\frac{a + b}{2} \ge \sqrt{ab}$

Равенство в этом неравенстве достигается тогда и только тогда, когда $a = b$.

Подставим в неравенство известную нам сумму $a + b = 40$:

$\frac{40}{2} \ge \sqrt{ab}$

$20 \ge \sqrt{ab}$

Чтобы оценить произведение $ab$, возведем обе части в квадрат:

$400 \ge ab$

Это означает, что максимальное значение произведения $ab$ равно 400. Оно достигается в случае равенства, то есть при $a = b$.

Так как $a = b$ и $a + b = 40$, мы можем записать:

$a + a = 40 \implies 2a = 40 \implies a = 20$

Следовательно, $b$ также равно 20.

Оба метода приводят к выводу, что произведение чисел будет наибольшим, когда эти числа равны друг другу.

Ответ: Произведение будет наибольшим при $a=20$ и $b=20$.