Номер 216, страница 70 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 2. Дополнительные упражнения к главе 1. Глава 1. Квадратичная функция - номер 216, страница 70.

216. При каком значении $p$ выражение $2px^2 - 2x - 2p - 3$ становится квадратным трёхчленом, одним из корней которого является число нуль? Найдите другой корень.

Данное выражение: $2px^2 - 2x - 2p - 3$.

Чтобы это выражение было квадратным трёхчленом, коэффициент при $x^2$ не должен быть равен нулю. Коэффициент при $x^2$ равен $2p$. Следовательно, должно выполняться условие: $2p \neq 0$, что означает $p \neq 0$.

По условию, один из корней этого трёхчлена равен нулю. Это означает, что если подставить $x=0$ в выражение, оно обратится в ноль. Подставим $x=0$: $2p(0)^2 - 2(0) - 2p - 3 = 0$

Упростим полученное уравнение: $0 - 0 - 2p - 3 = 0$ $-2p - 3 = 0$

Решим это уравнение относительно $p$: $-2p = 3$ $p = -\frac{3}{2}$

Это значение $p = -1.5$ удовлетворяет условию $p \neq 0$, следовательно, при данном значении $p$ выражение является квадратным трёхчленом.

Теперь найдём другой корень. Для этого подставим найденное значение $p = -\frac{3}{2}$ в исходный трёхчлен: $2(-\frac{3}{2})x^2 - 2x - 2(-\frac{3}{2}) - 3$

Упростим выражение: $-3x^2 - 2x - (-3) - 3$ $-3x^2 - 2x + 3 - 3$ $-3x^2 - 2x$

Чтобы найти корни, приравняем полученный трёхчлен к нулю и решим уравнение: $-3x^2 - 2x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x(-3x - 2) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два корня: $x_1 = 0$ (этот корень был дан в условии) или $-3x - 2 = 0$

Решим второе уравнение, чтобы найти другой корень: $-3x = 2$ $x_2 = -\frac{2}{3}$

Таким образом, мы нашли искомое значение $p$ и второй корень трёхчлена.

Ответ: при $p = -\frac{3}{2}$ другой корень равен $-\frac{2}{3}$.