Номер 409, страница 113 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

409. При каких значениях $r$ окружность $(x - 5)^2 + (y - 7)^2 = r^2$:

а) касается оси $x$;

б) касается оси $y$?

Стандартное уравнение окружности имеет вид $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$, где точка $(a, b)$ — это центр окружности, а $R$ — её радиус.

В задаче дана окружность с уравнением $(x - 5)^2 + (y - 7)^2 = r^2$. Из этого уравнения мы можем определить, что центр окружности находится в точке с координатами $C(5, 7)$, а её радиус равен $R = r$. Поскольку радиус является геометрической величиной, он должен быть положительным, поэтому мы рассматриваем $r > 0$.

а) касается оси x

Окружность касается оси x (уравнение которой $y=0$), если расстояние от центра окружности до этой оси равно радиусу. Расстояние от центра $C(a, b)$ до оси x равно модулю его y-координаты, то есть $|b|$. В нашем случае центр окружности находится в точке $C(5, 7)$, поэтому расстояние до оси x равно $|7| = 7$. Следовательно, для касания оси x радиус окружности $r$ должен быть равен этому расстоянию.

$r = 7$.

Ответ: $r=7$.

б) касается оси y

Окружность касается оси y (уравнение которой $x=0$), если расстояние от центра окружности до этой оси равно радиусу. Расстояние от центра $C(a, b)$ до оси y равно модулю его x-координаты, то есть $|a|$. В нашем случае центр окружности находится в точке $C(5, 7)$, поэтому расстояние до оси y равно $|5| = 5$. Следовательно, для касания оси y радиус окружности $r$ должен быть равен этому расстоянию.

$r = 5$.

Ответ: $r=5$.