Номер 412, страница 113 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

412. Решите неравенство:

а) $25x^2 + 6x \le 0;$

б) $x^2 - 169 > 0;$

в) $4x^2 - 225 \le 0;$

г) $y^2 < 10y + 24;$

д) $15y^2 + 30 > 22y + 7;$

е) $3y^2 - 7 \le 26y + 70.$

а) $25x^2 + 6x \le 0$
Для решения неравенства найдем корни соответствующего квадратного уравнения $25x^2 + 6x = 0$.
Вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x(25x + 6) = 0$.
Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $25x + 6 = 0 \implies x_2 = -6/25 = -0.24$.
Графиком функции $y = 25x^2 + 6x$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=25>0$).
Следовательно, функция принимает неположительные значения ($ \le 0$) на промежутке между корнями, включая сами корни.
Ответ: $x \in [-0.24; 0]$.

б) $x^2 - 169 > 0$
Найдем корни уравнения $x^2 - 169 = 0$.
$x^2 = 169$, откуда $x_1 = -13$ и $x_2 = 13$.
Это парабола с ветвями, направленными вверх ($a=1>0$). Значения функции будут положительными ($ > 0$) вне промежутка между корнями.
Ответ: $x \in (-\infty; -13) \cup (13; +\infty)$.

в) $4x^2 - 225 \le 0$
Найдем корни уравнения $4x^2 - 225 = 0$.
$4x^2 = 225 \implies x^2 = 225/4$, откуда $x_1 = -\sqrt{225/4} = -15/2 = -7.5$ и $x_2 = 15/2 = 7.5$.
Ветви параболы $y = 4x^2 - 225$ направлены вверх ($a=4>0$), поэтому неположительные значения ($ \le 0$) находятся на отрезке между корнями.
Ответ: $x \in [-7.5; 7.5]$.

г) $y^2 < 10y + 24$
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартный вид квадратного неравенства: $y^2 - 10y - 24 < 0$.
Найдем корни уравнения $y^2 - 10y - 24 = 0$ с помощью дискриминанта.
$D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 100 + 96 = 196$.
$y_1 = \frac{10 - \sqrt{196}}{2} = \frac{10 - 14}{2} = -2$.
$y_2 = \frac{10 + \sqrt{196}}{2} = \frac{10 + 14}{2} = 12$.
Ветви параболы $y = y^2 - 10y - 24$ направлены вверх ($a=1>0$). Значения функции будут отрицательными ($ < 0$) на интервале между корнями.
Ответ: $y \in (-2; 12)$.

д) $15y^2 + 30 > 22y + 7$
Приведем неравенство к стандартному виду: $15y^2 - 22y + 30 - 7 > 0$, то есть $15y^2 - 22y + 23 > 0$.
Рассмотрим соответствующее уравнение $15y^2 - 22y + 23 = 0$ и найдем его дискриминант.
$D = b^2 - 4ac = (-22)^2 - 4 \cdot 15 \cdot 23 = 484 - 1380 = -896$.
Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$), уравнение не имеет действительных корней. Коэффициент при $y^2$ положителен ($a=15>0$), значит, парабола полностью расположена выше оси абсцисс.
Следовательно, выражение $15y^2 - 22y + 23$ всегда положительно при любом значении $y$.
Ответ: $y \in (-\infty; +\infty)$.

е) $3y^2 - 7 \le 26y + 70$
Приведем неравенство к стандартному виду: $3y^2 - 26y - 7 - 70 \le 0$, то есть $3y^2 - 26y - 77 \le 0$.
Найдем корни уравнения $3y^2 - 26y - 77 = 0$ через дискриминант.
$D = b^2 - 4ac = (-26)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-77) = 676 + 924 = 1600$.
$y_1 = \frac{26 - \sqrt{1600}}{2 \cdot 3} = \frac{26 - 40}{6} = \frac{-14}{6} = -7/3$.
$y_2 = \frac{26 + \sqrt{1600}}{2 \cdot 3} = \frac{26 + 40}{6} = \frac{66}{6} = 11$.
Ветви параболы $y = 3y^2 - 26y - 77$ направлены вверх ($a=3>0$), поэтому неположительные значения ($ \le 0$) находятся на отрезке между корнями.
Ответ: $y \in [-7/3; 11]$.