Номер 418, страница 115 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

418. Решите графически систему уравнений

$\begin{cases} x^2 + y^2 = 100, \\ y = \frac{1}{2}x^2 - 10. \end{cases}$

Для графического решения системы уравнений необходимо построить графики каждого уравнения в одной системе координат. Решениями системы будут координаты точек пересечения этих графиков.

Первое уравнение системы $x^2 + y^2 = 100$ является уравнением окружности. Стандартный вид уравнения окружности: $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$, где $(a, b)$ — центр окружности, а $R$ — её радиус. В данном случае уравнение можно переписать как $(x - 0)^2 + (y - 0)^2 = 10^2$. Следовательно, это окружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R = 10$.

Второе уравнение системы $y = \frac{1}{2}x^2 - 10$ является уравнением параболы. Так как коэффициент при $x^2$ ($a = \frac{1}{2}$) положителен, ветви параболы направлены вверх. Найдем вершину параболы: абсцисса $x_0 = -\frac{b}{2a} = 0$, ордината $y_0 = \frac{1}{2}(0)^2 - 10 = -10$. Таким образом, вершина параболы находится в точке $(0, -10)$. Для более точного построения графика найдем несколько дополнительных точек, принадлежащих параболе: при $x = \pm 2$, $y = -8$; при $x = \pm 4$, $y = -2$; при $x = \pm 6$, $y = 8$.

Построим графики окружности и параболы в одной координатной плоскости. Графики пересекаются в трех точках, координаты которых и являются решением системы. Визуально определив точки пересечения, выполним проверку, подставив их координаты в оба уравнения системы.

Проверим предполагаемые точки пересечения: $(0, -10)$, $(6, 8)$ и $(-6, 8)$.
Для точки $(0, -10)$:
$x^2 + y^2 = 0^2 + (-10)^2 = 100$. (Верно)
$y = \frac{1}{2}x^2 - 10 \implies -10 = \frac{1}{2}(0)^2 - 10 \implies -10 = -10$. (Верно)
Для точки $(6, 8)$:
$x^2 + y^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$. (Верно)
$y = \frac{1}{2}x^2 - 10 \implies 8 = \frac{1}{2}(6)^2 - 10 = 18 - 10 = 8$. (Верно)
Для точки $(-6, 8)$:
$x^2 + y^2 = (-6)^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$. (Верно)
$y = \frac{1}{2}x^2 - 10 \implies 8 = \frac{1}{2}(-6)^2 - 10 = 18 - 10 = 8$. (Верно)
Все три точки удовлетворяют обоим уравнениям системы, следовательно, они являются её решениями.

Ответ: $(0, -10)$, $(6, 8)$, $(-6, 8)$.