Номер 424, страница 116 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

424. Составьте уравнение, графиком которого является:

а) пара прямых $y=x+1$ и $y=x-1$;

б) парабола $y=x^2$ и прямая $y=-2$.

а) Чтобы найти одно уравнение, графиком которого является объединение двух заданных графиков (в данном случае, двух прямых), можно использовать следующий принцип: если график состоит из кривых $f(x,y)=0$ и $g(x,y)=0$, то их объединение описывается уравнением $f(x,y) \cdot g(x,y)=0$. Это следует из того, что произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

Заданные прямые: $y = x + 1$ и $y = x - 1$.
Представим каждое уравнение в виде $f(x,y)=0$:

1. $y - (x + 1) = 0 \implies y - x - 1 = 0$
2. $y - (x - 1) = 0 \implies y - x + 1 = 0$

Теперь перемножим левые части этих уравнений:

$(y - x - 1)(y - x + 1) = 0$

Это и есть искомое уравнение. Для удобства его можно упростить, применив формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$. Пусть $a = y-x$ и $b=1$. Тогда:

$((y-x)-1)((y-x)+1) = 0$

$(y-x)^2 - 1^2 = 0$

$(y-x)^2 - 1 = 0$

Ответ: $(y-x)^2 - 1 = 0$

б) Используем тот же подход для параболы $y = x^2$ и прямой $y = -2$.

Сначала представим оба уравнения в виде, где правая часть равна нулю:

1. $y - x^2 = 0$
2. $y - (-2) = 0 \implies y + 2 = 0$

Далее, перемножим левые части полученных уравнений, чтобы получить одно уравнение, описывающее объединение этих двух графиков:

$(y - x^2)(y + 2) = 0$

Если точка $(x,y)$ лежит на параболе, то первый множитель $y - x^2$ равен нулю, и все уравнение обращается в ноль. Если точка лежит на прямой, то второй множитель $y+2$ равен нулю, и все уравнение также обращается в ноль. Таким образом, это уравнение описывает совокупность всех точек, принадлежащих параболе $y=x^2$ или прямой $y=-2$.

Ответ: $(y - x^2)(y + 2) = 0$