Номер 420, страница 116 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

420. Решите графически систему уравнений:

а) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 16, \\ x + y + 2 = 0; \end{cases}$

б) $\begin{cases} xy = 8, \\ x + y + 3 = 0. \end{cases}$

Для решения системы уравнений графическим методом необходимо построить графики каждого уравнения на одной координатной плоскости. Решениями системы будут координаты точек пересечения этих графиков.

Система уравнений: $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 16, \\ x + y + 2 = 0. \end{cases} $

Первое уравнение $x^2 + y^2 = 16$ — это уравнение окружности с центром в начале координат (0, 0) и радиусом $R = \sqrt{16} = 4$.

Второе уравнение $x + y + 2 = 0$ — это уравнение прямой. Преобразуем его к виду $y = kx + b$: $y = -x - 2$. Это прямая линия, для построения которой достаточно двух точек. Например, если $x = 0$, то $y = -2$ (точка (0, -2)), а если $y = 0$, то $x = -2$ (точка (-2, 0)).

Построив на координатной плоскости окружность и прямую, мы увидим, что они пересекаются в двух точках. Координаты этих точек и являются решением системы. Хотя графический метод дает приблизительные значения, мы можем найти точные значения, решив систему аналитически.

Подставим $y = -x - 2$ в уравнение окружности: $x^2 + (-x - 2)^2 = 16$
$x^2 + x^2 + 4x + 4 = 16$
$2x^2 + 4x - 12 = 0$
$x^2 + 2x - 6 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Дискриминант $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 4 + 24 = 28$. Корни уравнения для $x$: $x = \frac{-2 \pm \sqrt{28}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{7}}{2} = -1 \pm \sqrt{7}$.

Найдем соответствующие значения $y$: При $x_1 = -1 + \sqrt{7}$, $y_1 = -(-1 + \sqrt{7}) - 2 = 1 - \sqrt{7} - 2 = -1 - \sqrt{7}$. При $x_2 = -1 - \sqrt{7}$, $y_2 = -(-1 - \sqrt{7}) - 2 = 1 + \sqrt{7} - 2 = -1 + \sqrt{7}$. Таким образом, точки пересечения имеют точные координаты $(-1 + \sqrt{7}; -1 - \sqrt{7})$ и $(-1 - \sqrt{7}; -1 + \sqrt{7})$.

Ответ: $(-1 + \sqrt{7}; -1 - \sqrt{7})$, $(-1 - \sqrt{7}; -1 + \sqrt{7})$.

Для решения системы уравнений графическим методом построим графики каждого уравнения на одной координатной плоскости.

Система уравнений: $ \begin{cases} xy = 8, \\ x + y + 3 = 0. \end{cases} $

Первое уравнение $xy = 8$ можно записать как $y = \frac{8}{x}$. Это уравнение гиперболы, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях. Асимптотами графика являются оси координат. Для построения можно взять точки (2, 4), (4, 2), (-2, -4), (-4, -2).

Второе уравнение $x + y + 3 = 0$ — это уравнение прямой. Преобразуем его к виду $y = kx + b$: $y = -x - 3$. Это прямая линия. Для ее построения найдем две точки: если $x = 0$, то $y = -3$ (точка (0, -3)), а если $y = 0$, то $x = -3$ (точка (-3, 0)).

Построим на одной координатной плоскости графики гиперболы $y = \frac{8}{x}$ и прямой $y = -x - 3$. Из чертежа видно, что графики не пересекаются.

Чтобы убедиться в отсутствии решений, решим систему аналитически. Подставим $y = -x - 3$ в первое уравнение: $x(-x - 3) = 8$
$-x^2 - 3x = 8$
$x^2 + 3x + 8 = 0$

Найдем дискриминант полученного квадратного уравнения: $D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 9 - 32 = -23$. Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$), уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что графики функций не пересекаются, и система не имеет решений.

Ответ: решений нет.