Номер 427, страница 117 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

427. Докажите, что при $a > -1$ выражение $ \left(\frac{a+1}{a-1} - \frac{a-1}{a+1}\right) : \frac{4a}{5a-5} $ принимает положительные значения при всех допустимых значениях $a$.

Для доказательства утверждения необходимо упростить данное выражение и проанализировать его знак с учетом заданных условий.

Исходное выражение: $\left(\frac{a+1}{a-1} - \frac{a-1}{a+1}\right) : \frac{4a}{5a-5}$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $a$. Знаменатели дробей не могут быть равны нулю, и делитель не может быть равен нулю.

Из знаменателей дробей получаем:

$a-1 \neq 0 \implies a \neq 1$

$a+1 \neq 0 \implies a \neq -1$

$5a-5 = 5(a-1) \neq 0 \implies a \neq 1$

Делитель $\frac{4a}{5a-5}$ не должен быть равен нулю, что означает, что его числитель не равен нулю:

$4a \neq 0 \implies a \neq 0$.

По условию задачи также дано, что $a > -1$. Объединяя все условия, получаем, что допустимыми значениями для $a$ являются все числа, удовлетворяющие условиям $a > -1$, $a \neq 0$ и $a \neq 1$.

Теперь упростим выражение. Начнем с действия в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $(a-1)(a+1)$:

$\frac{a+1}{a-1} - \frac{a-1}{a+1} = \frac{(a+1)(a+1)}{(a-1)(a+1)} - \frac{(a-1)(a-1)}{(a-1)(a+1)} = \frac{(a+1)^2 - (a-1)^2}{(a-1)(a+1)}$

Используем формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$ для числителя:

$(a+1)^2 - (a-1)^2 = ((a+1)-(a-1))((a+1)+(a-1)) = (a+1-a+1)(a+1+a-1) = (2)(2a) = 4a$.

Таким образом, выражение в скобках равно $\frac{4a}{(a-1)(a+1)}$.

Теперь выполним деление:

$\frac{4a}{(a-1)(a+1)} : \frac{4a}{5a-5} = \frac{4a}{(a-1)(a+1)} \cdot \frac{5a-5}{4a}$

Разложим на множители выражение $5a-5 = 5(a-1)$ и подставим в выражение:

$\frac{4a}{(a-1)(a+1)} \cdot \frac{5(a-1)}{4a}$

Сократим общие множители $4a$ (так как по ОДЗ $a \neq 0$) и $(a-1)$ (так как по ОДЗ $a \neq 1$):

$\frac{\cancel{4a}}{\cancel{(a-1)}(a+1)} \cdot \frac{5\cancel{(a-1)}}{\cancel{4a}} = \frac{5}{a+1}$

Мы упростили исходное выражение до $\frac{5}{a+1}$. Теперь нужно доказать, что это выражение принимает положительные значения при всех допустимых значениях $a$, для которых $a > -1$.

По условию $a > -1$. Прибавим 1 к обеим частям этого неравенства:

$a+1 > -1+1 \implies a+1 > 0$.

Значит, знаменатель дроби $\frac{5}{a+1}$ всегда положителен для заданных значений $a$. Числитель дроби, равный 5, также является положительным числом. Частное двух положительных чисел всегда положительно.

Следовательно, выражение $\frac{5}{a+1}$ всегда больше нуля при $a > -1$ и всех допустимых значениях $a$. Это доказывает, что и исходное выражение принимает положительные значения.

Ответ: Выражение было упрощено до $\frac{5}{a+1}$. Поскольку по условию $a > -1$, то знаменатель $a+1 > 0$. Так как числитель 5 также положителен, всё выражение является положительным для всех допустимых значений $a$. Что и требовалось доказать.