Номер 422, страница 116 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

422. Решите графически систему уравнений:

а) $\begin{cases} (x-4)^2 + (y-5)^2 = 9, \\ y = x; \end{cases}$

б) $\begin{cases} y - x^2 = 0, \\ x + y = 6. \end{cases}$

а)

Для графического решения системы уравнений необходимо построить графики каждого уравнения в одной системе координат и найти точки их пересечения.

Система уравнений:

$ \begin{cases} (x-4)^2 + (y-5)^2 = 9, \\ y = x; \end{cases} $

Первое уравнение, $(x-4)^2 + (y-5)^2 = 9$, является уравнением окружности. Стандартный вид уравнения окружности: $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$, где $(a, b)$ — координаты центра, а $r$ — радиус. Для данного уравнения центр окружности находится в точке $C(4, 5)$, а радиус $r = \sqrt{9} = 3$.

Второе уравнение, $y = x$, является уравнением прямой. Эта прямая — биссектриса I и III координатных четвертей, проходящая через начало координат.

Построим графики. Координаты точек пересечения графиков являются решениями системы.

Из построенных графиков видно, что окружность и прямая пересекаются в двух точках. Поскольку точно определить координаты по графику затруднительно, найдем их аналитически, подставив $y=x$ в уравнение окружности:

$(x-4)^2 + (x-5)^2 = 9$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$x^2 - 8x + 16 + x^2 - 10x + 25 = 9$

$2x^2 - 18x + 41 = 9$

$2x^2 - 18x + 32 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2:

$x^2 - 9x + 16 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью формулы корней:

$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 81 - 64 = 17$

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 \pm \sqrt{17}}{2}$

Получаем два значения для $x$:

$x_1 = \frac{9 - \sqrt{17}}{2}$ и $x_2 = \frac{9 + \sqrt{17}}{2}$

Поскольку $y=x$, то соответствующие значения $y$ будут такими же:

$y_1 = \frac{9 - \sqrt{17}}{2}$ и $y_2 = \frac{9 + \sqrt{17}}{2}$

Следовательно, система имеет два решения — это координаты точек пересечения:

Ответ: $(\frac{9 - \sqrt{17}}{2}, \frac{9 - \sqrt{17}}{2})$, $(\frac{9 + \sqrt{17}}{2}, \frac{9 + \sqrt{17}}{2})$.

б)

Для графического решения системы уравнений необходимо построить графики каждого уравнения в одной системе координат и найти точки их пересечения.

Система уравнений:

$ \begin{cases} y - x^2 = 0, \\ x + y = 6. \end{cases} $

Преобразуем уравнения для удобства построения графиков:

$ \begin{cases} y = x^2, \\ y = -x + 6. \end{cases} $

Первое уравнение, $y = x^2$, задает параболу, вершина которой находится в начале координат $(0, 0)$, а ветви направлены вверх.

Второе уравнение, $y = -x + 6$, задает прямую. Для ее построения найдем две точки, например, точки пересечения с осями координат:
при $x=0$, $y=6$ (точка $(0, 6)$);
при $y=0$, $x=6$ (точка $(6, 0)$).

Построим графики параболы и прямой. Координаты точек пересечения графиков являются решениями системы.

На графике видно, что парабола и прямая пересекаются в двух точках. Их координаты можно определить по чертежу: $(2, 4)$ и $(-3, 9)$.

Для проверки выполним аналитическое решение. Приравняем правые части уравнений системы:

$x^2 = -x + 6$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 + x - 6 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-1$, а произведение равно $-6$. Легко подобрать корни:

$x_1 = 2$ и $x_2 = -3$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$, подставив найденные $x$ в любое из уравнений системы (например, в $y=x^2$):

Для $x_1 = 2$: $y_1 = 2^2 = 4$.

Для $x_2 = -3$: $y_2 = (-3)^2 = 9$.

Таким образом, точки пересечения: $(2, 4)$ и $(-3, 9)$. Это подтверждает результаты, полученные графическим методом.

Ответ: $(2, 4)$, $(-3, 9)$.