Номер 406, страница 113 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

406. Докажите, что графиком уравнения $x^2 + y^2 - 6(x - y) = 7$ является окружность.

406.

Чтобы доказать, что графиком данного уравнения является окружность, необходимо привести его к каноническому виду уравнения окружности: $(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$, где $(a, b)$ — это координаты центра окружности, а $R$ — её радиус.

Начнем с исходного уравнения:

$x^2 + y^2 - 6(x-y) = 7$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$x^2 + y^2 - 6x + 6y = 7$

Теперь сгруппируем слагаемые, содержащие $x$, и слагаемые, содержащие $y$:

$(x^2 - 6x) + (y^2 + 6y) = 7$

Далее, дополним каждую из скобок до полного квадрата. Для этого воспользуемся формулами сокращенного умножения: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ и $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

1. Для выражения с $x$: $x^2 - 6x$. Здесь $a=x$, а $-2ab = -6x$, откуда $b=3$. Чтобы получить полный квадрат, нужно добавить $b^2 = 3^2 = 9$. Получаем $(x^2 - 6x + 9) = (x-3)^2$.

2. Для выражения с $y$: $y^2 + 6y$. Здесь $a=y$, а $2ab = 6y$, откуда $b=3$. Чтобы получить полный квадрат, нужно добавить $b^2 = 3^2 = 9$. Получаем $(y^2 + 6y + 9) = (y+3)^2$.

Чтобы уравнение осталось верным, мы должны добавить эти же числа (9 и 9) к правой части уравнения:

$(x^2 - 6x + 9) + (y^2 + 6y + 9) = 7 + 9 + 9$

Теперь свернем левую часть по формулам полного квадрата и посчитаем сумму в правой части:

$(x - 3)^2 + (y + 3)^2 = 25$

Представим правую часть в виде квадрата радиуса:

$(x - 3)^2 + (y - (-3))^2 = 5^2$

Полученное уравнение полностью соответствует каноническому виду уравнения окружности. Из него видно, что это окружность с центром в точке $(3; -3)$ и радиусом $R = 5$.

Поскольку исходное уравнение удалось преобразовать к каноническому виду уравнения окружности, его графиком действительно является окружность.

Ответ: Исходное уравнение $x^2 + y^2 - 6(x-y) = 7$ приводится к виду $(x - 3)^2 + (y + 3)^2 = 5^2$, что является уравнением окружности с центром в точке $(3, -3)$ и радиусом $5$. Таким образом, доказано, что график данного уравнения является окружностью.