Страница 152 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

583. (Для работы в парах.) На стороне $OA$ угла $AOB$ от его вершины отложены равные отрезки и через их концы проведены параллельные прямые (рис. 75). Длина отрезка $A_1B_1$ равна 1,5 см. Найдите длину отрезка:

а) $A_5B_5$;

б) $A_{10}B_{10}$.

1) Обсудите, какое известное вам из курса геометрии свойство надо использовать для решения задачи.

2) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.

3) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнено задание, и исправьте ошибки, если они допущены.

Рис. 75

Для решения этой задачи нужно использовать свойство подобных треугольников. Рассмотрим угол $AOB$. Прямые $A_1B_1, A_2B_2, \dots, A_nB_n$ параллельны по условию.

Рассмотрим треугольники $\triangle OA_nB_n$. Все они подобны друг другу. Например, сравним $\triangle OA_1B_1$ и $\triangle OA_nB_n$:

• Угол $\angle O$ — общий.
• Поскольку $A_1B_1 \parallel A_nB_n$, то углы $\angle OA_1B_1$ и $\angle OA_nB_n$ равны как соответственные при секущей $OA$.

Следовательно, $\triangle OA_1B_1 \sim \triangle OA_nB_n$ по двум углам.

Из подобия треугольников следует пропорциональность их сторон: $$ \frac{A_nB_n}{A_1B_1} = \frac{OA_n}{OA_1} $$

По условию, на стороне $OA$ отложены равные отрезки: $OA_1 = A_1A_2 = A_2A_3 = \dots$. Обозначим длину одного такого отрезка за $x$. Тогда $OA_1 = x$, а длина отрезка $OA_n$ будет суммой $n$ таких отрезков, то есть $OA_n = n \cdot x$.

Теперь мы можем найти коэффициент подобия $k$ для треугольников $\triangle OA_nB_n$ и $\triangle OA_1B_1$: $$ k = \frac{OA_n}{OA_1} = \frac{n \cdot x}{x} = n $$

Значит, отношение длин отрезков $A_nB_n$ и $A_1B_1$ равно $n$: $$ \frac{A_nB_n}{A_1B_1} = n $$ Отсюда получаем общую формулу: $A_nB_n = n \cdot A_1B_1$.

Нам дано, что $A_1B_1 = 1,5$ см.

а)

Для нахождения длины отрезка $A_5B_5$ используем полученную формулу при $n=5$: $$ A_5B_5 = 5 \cdot A_1B_1 $$ Подставляем известное значение: $$ A_5B_5 = 5 \cdot 1,5 = 7,5 \text{ см} $$ Ответ: $7,5$ см.

б)

Для нахождения длины отрезка $A_{10}B_{10}$ используем полученную формулу при $n=10$: $$ A_{10}B_{10} = 10 \cdot A_1B_1 $$ Подставляем известное значение: $$ A_{10}B_{10} = 10 \cdot 1,5 = 15 \text{ см} $$ Ответ: $15$ см.

584. Найдите первый член арифметической прогрессии $(x_n)$, если известно, что:

а) $x_{30} = 128, d = 4;$

б) $x_{45} = -208, d = -7;$

в) $x_{11} = 36, d = -8;$

г) $x_{17} = 1, d = -3.$

Для нахождения первого члена арифметической прогрессии $(x_n)$ используется формула n-го члена: $x_n = x_1 + (n-1)d$, где $x_1$ - первый член, $d$ - разность прогрессии, а $n$ - порядковый номер члена.

Чтобы найти $x_1$, выразим его из формулы: $x_1 = x_n - (n-1)d$.

а) Дано $x_{30} = 128$ и $d = 4$. Здесь $n=30$.

Подставляем значения в формулу:

$x_1 = x_{30} - (30-1)d$

$x_1 = 128 - (29) \cdot 4$

$x_1 = 128 - 116$

$x_1 = 12$

Ответ: $12$.

б) Дано $x_{45} = -208$ и $d = -7$. Здесь $n=45$.

Подставляем значения в формулу:

$x_1 = x_{45} - (45-1)d$

$x_1 = -208 - (44) \cdot (-7)$

$x_1 = -208 - (-308)$

$x_1 = -208 + 308$

$x_1 = 100$

Ответ: $100$.

в) Дано $x_{11} = 36$ и $d = -8$. Здесь $n=11$.

Подставляем значения в формулу:

$x_1 = x_{11} - (11-1)d$

$x_1 = 36 - (10) \cdot (-8)$

$x_1 = 36 - (-80)$

$x_1 = 36 + 80$

$x_1 = 116$

Ответ: $116$.

г) Дано $x_{17} = 1$ и $d = -3$. Здесь $n=17$.

Подставляем значения в формулу:

$x_1 = x_{17} - (17-1)d$

$x_1 = 1 - (16) \cdot (-3)$

$x_1 = 1 - (-48)$

$x_1 = 1 + 48$

$x_1 = 49$

Ответ: $49$.

585. Найдите разность арифметической прогрессии ($y_n$), в которой:

а) $y_1 = 10, y_5 = 22;$

б) $y_1 = 28, y_{15} = -21;$

в) $y_1 = 16, y_8 = -1;$

г) $y_1 = -22, y_{16} = -4.$

Для нахождения разности $d$ арифметической прогрессии $(y_n)$ воспользуемся формулой, которая связывает два любых её члена $y_m$ и $y_n$:

$y_m = y_n + (m-n)d$

Из этой формулы можно выразить разность $d$:

$d = \frac{y_m - y_n}{m-n}$

Теперь применим эту формулу для каждого из пунктов.

а) Даны члены прогрессии $y_1 = 10$ и $y_5 = 22$.

Подставляем известные значения в формулу для нахождения разности:

$d = \frac{y_5 - y_1}{5-1} = \frac{22 - 10}{4} = \frac{12}{4} = 3$.

Ответ: $3$.

б) Даны члены прогрессии $y_1 = 28$ и $y_{15} = -21$.

Подставляем известные значения в формулу:

$d = \frac{y_{15} - y_1}{15-1} = \frac{-21 - 28}{14} = \frac{-49}{14} = -\frac{7}{2} = -3.5$.

Ответ: $-3.5$.

в) Даны члены прогрессии $y_1 = 16$ и $y_8 = -1$.

Подставляем известные значения в формулу:

$d = \frac{y_8 - y_1}{8-1} = \frac{-1 - 16}{7} = -\frac{17}{7}$.

Ответ: $-\frac{17}{7}$.

г) Даны члены прогрессии $y_1 = -22$ и $y_{16} = -4$.

Подставляем известные значения в формулу:

$d = \frac{y_{16} - y_1}{16-1} = \frac{-4 - (-22)}{15} = \frac{-4 + 22}{15} = \frac{18}{15} = \frac{6}{5} = 1.2$.

Ответ: $1.2$.

586. Последовательность ($c_n$) — арифметическая прогрессия. Най-дите:

а) $c_1$, если $c_{36} = 26$ и $d = 0,7$;

б) $d$, если $c_1 = -10$ и $c_{15} = 1,2$.

Для решения обоих пунктов задачи используется формула n-го члена арифметической прогрессии: $c_n = c_1 + (n-1)d$, где $c_n$ — n-й член прогрессии, $c_1$ — первый член прогрессии, $d$ — разность прогрессии, а $n$ — номер члена прогрессии.

а)

По условию дано: $c_{36} = 26$ и $d = 0,7$. Необходимо найти $c_1$. В данном случае $n=36$. Подставим известные значения в формулу n-го члена арифметической прогрессии:

$c_{36} = c_1 + (36-1)d$

$26 = c_1 + 35 \cdot 0,7$

Сначала вычислим произведение в правой части уравнения:

$35 \cdot 0,7 = 24,5$

Теперь подставим полученное значение обратно в уравнение:

$26 = c_1 + 24,5$

Чтобы найти $c_1$, перенесем $24,5$ в левую часть уравнения с противоположным знаком:

$c_1 = 26 - 24,5$

$c_1 = 1,5$

Ответ: $c_1 = 1,5$.

б)

По условию дано: $c_1 = -10$ и $c_{15} = 1,2$. Необходимо найти разность прогрессии $d$. В данном случае $n=15$. Подставим известные значения в формулу n-го члена:

$c_{15} = c_1 + (15-1)d$

$1,2 = -10 + 14d$

Для того чтобы найти $d$, решим полученное линейное уравнение. Перенесем $-10$ в левую часть уравнения, изменив знак:

$1,2 + 10 = 14d$

$11,2 = 14d$

Теперь разделим обе части уравнения на 14:

$d = \frac{11,2}{14}$

$d = 0,8$

Ответ: $d = 0,8$.

587. Между числами 5 и 1 вставьте семь таких чисел, чтобы они вместе с данными числами образовали арифметическую прогрессию.

По условию задачи нам нужно создать арифметическую прогрессию. Первым членом этой прогрессии будет $a_1 = 5$. Между числами 5 и 1 необходимо вставить семь чисел, значит, общее количество членов в прогрессии составит $n = 2 + 7 = 9$. Число 1 будет девятым членом прогрессии, то есть $a_9 = 1$.

Для нахождения неизвестных членов прогрессии сначала вычислим её разность $d$, используя формулу n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Подставим известные значения в формулу для $n=9$:

$a_9 = a_1 + (9-1)d$

$1 = 5 + 8d$

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $d$:

$8d = 1 - 5$

$8d = -4$

$d = \frac{-4}{8} = -0.5$

Теперь, когда разность прогрессии $d = -0.5$ известна, найдем семь искомых чисел. Это будут члены прогрессии со второго по восьмой, каждый из которых получается прибавлением разности $d$ к предыдущему члену:

$a_2 = a_1 + d = 5 + (-0.5) = 4.5$

$a_3 = a_2 + d = 4.5 + (-0.5) = 4$

$a_4 = a_3 + d = 4 + (-0.5) = 3.5$

$a_5 = a_4 + d = 3.5 + (-0.5) = 3$

$a_6 = a_5 + d = 3 + (-0.5) = 2.5$

$a_7 = a_6 + d = 2.5 + (-0.5) = 2$

$a_8 = a_7 + d = 2 + (-0.5) = 1.5$

Проверка: девятый член должен быть равен 1. $a_9 = a_8 + d = 1.5 + (-0.5) = 1$. Условие выполняется.

Таким образом, искомые числа, которые вместе с 5 и 1 образуют арифметическую прогрессию, это 4.5, 4, 3.5, 3, 2.5, 2, 1.5.

Ответ: 4.5; 4; 3.5; 3; 2.5; 2; 1.5.

588. (Задача-исследование.) Могут ли числа 20 и 35 быть членами арифметической прогрессии, первый член которой равен 12 и разность не равна 1.

1) Предположив, что числа 20 и 35 являются членами арифметической прогрессии, выразите каждое из них через d, n или m, где d — разность прогрессии, n — номер члена, равного 20, m — номер члена, равного 35. Докажите, что $\frac{n-1}{m-1} = \frac{8}{23}$.

2) Полагая, что $n - 1 = 8k$ и $m - 1 = 23k$, где $k \in N$, выразите m и n через k. Обсудите, как, выбрав значение k, большее 1, можно получить арифметическую прогрессию, удовлетворяющую условию задачи. Выполните необходимые вычисления.

3) Объясните, почему значение $k = 1$ приводит к противоречию с условием задачи.

1)

Пусть дана арифметическая прогрессия $a_n$ с первым членом $a_1 = 12$ и разностью $d$. Предположим, что числа 20 и 35 являются членами этой прогрессии. Обозначим их как $n$-й и $m$-й члены соответственно:

$a_n = 20$

$a_m = 35$

Используя формулу для $k$-го члена арифметической прогрессии $a_k = a_1 + (k-1)d$, мы можем составить систему из двух уравнений:

$20 = 12 + (n-1)d$

$35 = 12 + (m-1)d$

Из этих уравнений выразим произведения $(n-1)d$ и $(m-1)d$:

$(n-1)d = 20 - 12 = 8$

$(m-1)d = 35 - 12 = 23$

Поскольку члены прогрессии 20 и 35 отличаются от первого члена 12, разность прогрессии $d$ не может быть равна нулю. Следовательно, мы можем разделить первое уравнение на второе:

$\frac{(n-1)d}{(m-1)d} = \frac{8}{23}$

Сократив $d$ в левой части, мы получим требуемое соотношение, что и требовалось доказать:

$\frac{n-1}{m-1} = \frac{8}{23}$

Ответ: Выражения для членов прогрессии: $20 = 12 + (n-1)d$ и $35 = 12 + (m-1)d$. Из этих уравнений получены соотношения $(n-1)d = 8$ и $(m-1)d = 23$. Деление одного соотношения на другое доказывает, что $\frac{n-1}{m-1} = \frac{8}{23}$.

2)

Из соотношения $\frac{n-1}{m-1} = \frac{8}{23}$ и того факта, что числа 8 и 23 являются взаимно простыми, а $n$ и $m$ — целые числа (номера членов прогрессии), следует, что $n-1$ и $m-1$ должны быть пропорциональны 8 и 23. Это означает, что существует такое число $k$, что:

$n - 1 = 8k$

$m - 1 = 23k$

Так как члены прогрессии возрастают ($12 < 20 < 35$), разность $d$ должна быть положительной. Из уравнения $(n-1)d=8$ следует, что $n-1$ также должно быть положительным, а значит $k > 0$. Поскольку $n = 8k+1$ и $m=23k+1$ должны быть натуральными числами, а 8 и 23 взаимно просты, $k$ должно быть натуральным числом, то есть $k \in \mathbb{N}$.

Выразим $n$ и $m$ через $k$:

$n = 8k + 1$

$m = 23k + 1$

Теперь найдем разность $d$. Из уравнения $(n-1)d = 8$ подставим $n-1 = 8k$:

$(8k)d = 8 \implies d = \frac{1}{k}$

В условии требуется выбрать значение $k > 1$. Возьмем, к примеру, $k=2$.

При $k=2$ разность прогрессии будет $d = \frac{1}{2}$. Это значение удовлетворяет условию $d \neq 1$.

Номера членов для 20 и 35 будут:

$n = 8(2) + 1 = 17$

$m = 23(2) + 1 = 47$

Проверим, действительно ли в прогрессии с $a_1=12$ и $d=1/2$ 17-й и 47-й члены равны 20 и 35:

$a_{17} = a_1 + (17-1)d = 12 + 16 \cdot \frac{1}{2} = 12 + 8 = 20$.

$a_{47} = a_1 + (47-1)d = 12 + 46 \cdot \frac{1}{2} = 12 + 23 = 35$.

Оба значения совпали. Таким образом, выбрав любое натуральное число $k > 1$, можно построить арифметическую прогрессию, удовлетворяющую условию задачи. Разность такой прогрессии $d=1/k$ не будет равна 1.

Ответ: Выражения для $n$ и $m$ через $k$: $n = 8k+1$, $m = 23k+1$. При выборе любого натурального числа $k > 1$ (например, $k=2$), мы получаем разность прогрессии $d = 1/k$ (для $k=2$, $d=1/2$), которая не равна 1. При $k=2$ числа 20 и 35 будут 17-м и 47-м членами прогрессии с $a_1=12$ и $d=1/2$. Следовательно, такая прогрессия существует, и числа 20 и 35 могут быть ее членами.

3)

Рассмотрим случай, когда $k=1$.

Используя выведенную в предыдущем пункте формулу для разности прогрессии $d = \frac{1}{k}$, при $k=1$ получаем:

$d = \frac{1}{1} = 1$

Однако, в условии задачи указано, что разность прогрессии не должна быть равна 1 ("разность не равна 1").

Следовательно, значение $k=1$ приводит к разности $d=1$, что прямо противоречит одному из начальных условий задачи.

Ответ: Значение $k=1$ приводит к разности прогрессии $d = \frac{1}{1} = 1$. Это противоречит условию задачи, в котором указано, что разность не равна 1.