Номер 588, страница 152 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

588. (Задача-исследование.) Могут ли числа 20 и 35 быть членами арифметической прогрессии, первый член которой равен 12 и разность не равна 1.

1) Предположив, что числа 20 и 35 являются членами арифметической прогрессии, выразите каждое из них через d, n или m, где d — разность прогрессии, n — номер члена, равного 20, m — номер члена, равного 35. Докажите, что $\frac{n-1}{m-1} = \frac{8}{23}$.

2) Полагая, что $n - 1 = 8k$ и $m - 1 = 23k$, где $k \in N$, выразите m и n через k. Обсудите, как, выбрав значение k, большее 1, можно получить арифметическую прогрессию, удовлетворяющую условию задачи. Выполните необходимые вычисления.

3) Объясните, почему значение $k = 1$ приводит к противоречию с условием задачи.

1)

Пусть дана арифметическая прогрессия $a_n$ с первым членом $a_1 = 12$ и разностью $d$. Предположим, что числа 20 и 35 являются членами этой прогрессии. Обозначим их как $n$-й и $m$-й члены соответственно:

$a_n = 20$

$a_m = 35$

Используя формулу для $k$-го члена арифметической прогрессии $a_k = a_1 + (k-1)d$, мы можем составить систему из двух уравнений:

$20 = 12 + (n-1)d$

$35 = 12 + (m-1)d$

Из этих уравнений выразим произведения $(n-1)d$ и $(m-1)d$:

$(n-1)d = 20 - 12 = 8$

$(m-1)d = 35 - 12 = 23$

Поскольку члены прогрессии 20 и 35 отличаются от первого члена 12, разность прогрессии $d$ не может быть равна нулю. Следовательно, мы можем разделить первое уравнение на второе:

$\frac{(n-1)d}{(m-1)d} = \frac{8}{23}$

Сократив $d$ в левой части, мы получим требуемое соотношение, что и требовалось доказать:

$\frac{n-1}{m-1} = \frac{8}{23}$

Ответ: Выражения для членов прогрессии: $20 = 12 + (n-1)d$ и $35 = 12 + (m-1)d$. Из этих уравнений получены соотношения $(n-1)d = 8$ и $(m-1)d = 23$. Деление одного соотношения на другое доказывает, что $\frac{n-1}{m-1} = \frac{8}{23}$.

2)

Из соотношения $\frac{n-1}{m-1} = \frac{8}{23}$ и того факта, что числа 8 и 23 являются взаимно простыми, а $n$ и $m$ — целые числа (номера членов прогрессии), следует, что $n-1$ и $m-1$ должны быть пропорциональны 8 и 23. Это означает, что существует такое число $k$, что:

$n - 1 = 8k$

$m - 1 = 23k$

Так как члены прогрессии возрастают ($12 < 20 < 35$), разность $d$ должна быть положительной. Из уравнения $(n-1)d=8$ следует, что $n-1$ также должно быть положительным, а значит $k > 0$. Поскольку $n = 8k+1$ и $m=23k+1$ должны быть натуральными числами, а 8 и 23 взаимно просты, $k$ должно быть натуральным числом, то есть $k \in \mathbb{N}$.

Выразим $n$ и $m$ через $k$:

$n = 8k + 1$

$m = 23k + 1$

Теперь найдем разность $d$. Из уравнения $(n-1)d = 8$ подставим $n-1 = 8k$:

$(8k)d = 8 \implies d = \frac{1}{k}$

В условии требуется выбрать значение $k > 1$. Возьмем, к примеру, $k=2$.

При $k=2$ разность прогрессии будет $d = \frac{1}{2}$. Это значение удовлетворяет условию $d \neq 1$.

Номера членов для 20 и 35 будут:

$n = 8(2) + 1 = 17$

$m = 23(2) + 1 = 47$

Проверим, действительно ли в прогрессии с $a_1=12$ и $d=1/2$ 17-й и 47-й члены равны 20 и 35:

$a_{17} = a_1 + (17-1)d = 12 + 16 \cdot \frac{1}{2} = 12 + 8 = 20$.

$a_{47} = a_1 + (47-1)d = 12 + 46 \cdot \frac{1}{2} = 12 + 23 = 35$.

Оба значения совпали. Таким образом, выбрав любое натуральное число $k > 1$, можно построить арифметическую прогрессию, удовлетворяющую условию задачи. Разность такой прогрессии $d=1/k$ не будет равна 1.

Ответ: Выражения для $n$ и $m$ через $k$: $n = 8k+1$, $m = 23k+1$. При выборе любого натурального числа $k > 1$ (например, $k=2$), мы получаем разность прогрессии $d = 1/k$ (для $k=2$, $d=1/2$), которая не равна 1. При $k=2$ числа 20 и 35 будут 17-м и 47-м членами прогрессии с $a_1=12$ и $d=1/2$. Следовательно, такая прогрессия существует, и числа 20 и 35 могут быть ее членами.

3)

Рассмотрим случай, когда $k=1$.

Используя выведенную в предыдущем пункте формулу для разности прогрессии $d = \frac{1}{k}$, при $k=1$ получаем:

$d = \frac{1}{1} = 1$

Однако, в условии задачи указано, что разность прогрессии не должна быть равна 1 ("разность не равна 1").

Следовательно, значение $k=1$ приводит к разности $d=1$, что прямо противоречит одному из начальных условий задачи.

Ответ: Значение $k=1$ приводит к разности прогрессии $d = \frac{1}{1} = 1$. Это противоречит условию задачи, в котором указано, что разность не равна 1.