Номер 589, страница 153 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

589. Найдите первый член и разность арифметической прогрессии $(c_n)$, если:

a) $c_5 = 27, c_{27} = 60;$

б) $c_{20} = 0, c_{66} = -92.$

а)

Для нахождения первого члена $c_1$ и разности $d$ арифметической прогрессии ($c_n$) воспользуемся формулой n-го члена: $c_n = c_1 + (n-1)d$.

По условию задачи даны два члена прогрессии: $c_5 = 27$ и $c_{27} = 60$.

Составим систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными, $c_1$ и $d$:

$\begin{cases} c_5 = c_1 + (5-1)d \\ c_{27} = c_1 + (27-1)d \end{cases}$

Подставим известные значения в систему:

$\begin{cases} 27 = c_1 + 4d \\ 60 = c_1 + 26d \end{cases}$

Чтобы найти разность $d$, вычтем первое уравнение из второго:

$(c_1 + 26d) - (c_1 + 4d) = 60 - 27$

$c_1 + 26d - c_1 - 4d = 33$

$22d = 33$

$d = \frac{33}{22} = \frac{3}{2} = 1.5$

Теперь, зная разность $d$, найдем первый член $c_1$. Для этого подставим значение $d$ в первое уравнение системы ($27 = c_1 + 4d$):

$27 = c_1 + 4 \cdot 1.5$

$27 = c_1 + 6$

$c_1 = 27 - 6$

$c_1 = 21$

Ответ: первый член $c_1 = 21$, разность $d = 1.5$.

б)

Аналогично первому пункту, используем данные $c_{20} = 0$ и $c_{66} = -92$ и формулу n-го члена арифметической прогрессии $c_n = c_1 + (n-1)d$.

Составим систему уравнений:

$\begin{cases} c_{20} = c_1 + (20-1)d \\ c_{66} = c_1 + (66-1)d \end{cases}$

Подставим известные значения:

$\begin{cases} 0 = c_1 + 19d \\ -92 = c_1 + 65d \end{cases}$

Вычтем первое уравнение из второго, чтобы найти разность $d$:

$(c_1 + 65d) - (c_1 + 19d) = -92 - 0$

$c_1 + 65d - c_1 - 19d = -92$

$46d = -92$

$d = \frac{-92}{46} = -2$

Теперь найдем первый член $c_1$, подставив найденное значение $d$ в первое уравнение системы ($0 = c_1 + 19d$):

$0 = c_1 + 19 \cdot (-2)$

$0 = c_1 - 38$

$c_1 = 38$

Ответ: первый член $c_1 = 38$, разность $d = -2$.