Номер 591, страница 153 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

591. Содержит ли арифметическая прогрессия $2; 9; \dots$ число:

a) 156;

б) 295?

Дана арифметическая прогрессия. Чтобы определить, принадлежит ли ей некоторое число, нужно сначала найти её параметры: первый член и разность. Первый член прогрессии, $a_1$, нам известен: $a_1 = 2$. Второй член прогрессии также известен: $a_2 = 9$. Разность арифметической прогрессии, $d$, можно найти как разницу между последующим и предыдущим членами: $d = a_2 - a_1 = 9 - 2 = 7$.

Формула для нахождения n-го члена арифметической прогрессии выглядит так: $a_n = a_1 + (n-1)d$. Число является членом прогрессии, если для него можно найти такой номер $n$, который будет натуральным числом (т.е. 1, 2, 3, ...).

а) Проверим, содержит ли прогрессия число 156.
Предположим, что 156 — это n-й член прогрессии, то есть $a_n = 156$. Подставим известные значения в формулу: $156 = 2 + (n-1) \cdot 7$
Теперь решим это уравнение относительно $n$: $156 - 2 = (n-1) \cdot 7$ $154 = (n-1) \cdot 7$ $n-1 = \frac{154}{7}$ $n-1 = 22$ $n = 22 + 1$ $n = 23$
Поскольку мы получили натуральное число $n=23$, это означает, что число 156 является 23-м членом данной прогрессии.
Ответ: да, содержит.

б) Проверим, содержит ли прогрессия число 295.
Предположим, что 295 — это n-й член прогрессии, то есть $a_n = 295$. Подставим значения в формулу: $295 = 2 + (n-1) \cdot 7$
Решим уравнение относительно $n$: $295 - 2 = (n-1) \cdot 7$ $293 = (n-1) \cdot 7$ $n-1 = \frac{293}{7}$
При делении 293 на 7 мы не получаем целое число: $293 = 7 \cdot 41 + 6$. $n-1 = 41\frac{6}{7}$
Так как номер члена прогрессии $n$ должен быть натуральным числом, а в данном случае $n = 41\frac{6}{7} + 1 = 42\frac{6}{7}$ является дробным числом, то 295 не может быть членом этой арифметической прогрессии.
Ответ: нет, не содержит.