Номер 590, страница 153 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

590. Найдите первый член и разность арифметической прогрессии $(x_n)$, если $x_{16} = -7$ и $x_{26} = 55$.

Для нахождения первого члена и разности арифметической прогрессии $(x_n)$ воспользуемся общей формулой n-го члена: $x_n = x_1 + (n-1)d$, где $x_1$ — это первый член, а $d$ — разность прогрессии.

По условию задачи нам известны два члена прогрессии: $x_{16} = -7$ и $x_{26} = 55$. Используя эти данные, мы можем составить систему из двух уравнений с двумя неизвестными: $x_1$ и $d$.

1. Для $n = 16$:
$x_{16} = x_1 + (16 - 1)d = x_1 + 15d$
$x_1 + 15d = -7$

2. Для $n = 26$:
$x_{26} = x_1 + (26 - 1)d = x_1 + 25d$
$x_1 + 25d = 55$

Получаем следующую систему уравнений:

$\begin{cases} x_1 + 15d = -7 \\ x_1 + 25d = 55 \end{cases}$

Чтобы найти разность $d$, вычтем первое уравнение из второго:

$(x_1 + 25d) - (x_1 + 15d) = 55 - (-7)$
$x_1 + 25d - x_1 - 15d = 55 + 7$
$10d = 62$
$d = \frac{62}{10} = 6.2$

Теперь, зная разность $d = 6.2$, мы можем найти первый член $x_1$. Для этого подставим значение $d$ в любое из двух уравнений. Воспользуемся первым уравнением:

$x_1 + 15d = -7$
$x_1 + 15 \cdot 6.2 = -7$
$x_1 + 93 = -7$
$x_1 = -7 - 93$
$x_1 = -100$

Проверим результат, подставив найденные значения $x_1$ и $d$ во второе уравнение:

$x_1 + 25d = -100 + 25 \cdot 6.2 = -100 + 155 = 55$
$55 = 55$. Результат верный.

Ответ: первый член прогрессии $x_1 = -100$, разность прогрессии $d = 6.2$.