Номер 583, страница 152 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

583. (Для работы в парах.) На стороне $OA$ угла $AOB$ от его вершины отложены равные отрезки и через их концы проведены параллельные прямые (рис. 75). Длина отрезка $A_1B_1$ равна 1,5 см. Найдите длину отрезка:

а) $A_5B_5$;

б) $A_{10}B_{10}$.

1) Обсудите, какое известное вам из курса геометрии свойство надо использовать для решения задачи.

2) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.

3) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнено задание, и исправьте ошибки, если они допущены.

Рис. 75

Для решения этой задачи нужно использовать свойство подобных треугольников. Рассмотрим угол $AOB$. Прямые $A_1B_1, A_2B_2, \dots, A_nB_n$ параллельны по условию.

Рассмотрим треугольники $\triangle OA_nB_n$. Все они подобны друг другу. Например, сравним $\triangle OA_1B_1$ и $\triangle OA_nB_n$:

• Угол $\angle O$ — общий.
• Поскольку $A_1B_1 \parallel A_nB_n$, то углы $\angle OA_1B_1$ и $\angle OA_nB_n$ равны как соответственные при секущей $OA$.

Следовательно, $\triangle OA_1B_1 \sim \triangle OA_nB_n$ по двум углам.

Из подобия треугольников следует пропорциональность их сторон: $$ \frac{A_nB_n}{A_1B_1} = \frac{OA_n}{OA_1} $$

По условию, на стороне $OA$ отложены равные отрезки: $OA_1 = A_1A_2 = A_2A_3 = \dots$. Обозначим длину одного такого отрезка за $x$. Тогда $OA_1 = x$, а длина отрезка $OA_n$ будет суммой $n$ таких отрезков, то есть $OA_n = n \cdot x$.

Теперь мы можем найти коэффициент подобия $k$ для треугольников $\triangle OA_nB_n$ и $\triangle OA_1B_1$: $$ k = \frac{OA_n}{OA_1} = \frac{n \cdot x}{x} = n $$

Значит, отношение длин отрезков $A_nB_n$ и $A_1B_1$ равно $n$: $$ \frac{A_nB_n}{A_1B_1} = n $$ Отсюда получаем общую формулу: $A_nB_n = n \cdot A_1B_1$.

Нам дано, что $A_1B_1 = 1,5$ см.

а)

Для нахождения длины отрезка $A_5B_5$ используем полученную формулу при $n=5$: $$ A_5B_5 = 5 \cdot A_1B_1 $$ Подставляем известное значение: $$ A_5B_5 = 5 \cdot 1,5 = 7,5 \text{ см} $$ Ответ: $7,5$ см.

б)

Для нахождения длины отрезка $A_{10}B_{10}$ используем полученную формулу при $n=10$: $$ A_{10}B_{10} = 10 \cdot A_1B_1 $$ Подставляем известное значение: $$ A_{10}B_{10} = 10 \cdot 1,5 = 15 \text{ см} $$ Ответ: $15$ см.