Номер 595, страница 153 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

595. Докажите, что если числа $a, b, c$ являются последовательными членами арифметической прогрессии, то числа $a^2 + ab + b^2$, $a^2 + ac + c^2$ и $b^2 + bc + c^2$ также являются последовательными членами некоторой арифметической прогрессии.

Пусть числа $a$, $b$, $c$ являются последовательными членами арифметической прогрессии. По характеристическому свойству арифметической прогрессии для трех последовательных членов выполняется равенство: $b - a = c - b$, что эквивалентно $2b = a + c$.

Нам нужно доказать, что числа $x_1 = a^2 + ab + b^2$, $x_2 = a^2 + ac + c^2$ и $x_3 = b^2 + bc + c^2$ также являются последовательными членами некоторой арифметической прогрессии. Для этого достаточно показать, что разность между вторым и первым членами равна разности между третьим и вторым членами, то есть $x_2 - x_1 = x_3 - x_2$.

Найдем разность между вторым и первым членами:

$x_2 - x_1 = (a^2 + ac + c^2) - (a^2 + ab + b^2) = a^2 + ac + c^2 - a^2 - ab - b^2$

Сгруппируем слагаемые:

$x_2 - x_1 = (ac - ab) + (c^2 - b^2) = a(c - b) + (c - b)(c + b)$

Вынесем общий множитель $(c - b)$:

$x_2 - x_1 = (c - b)(a + c + b)$

Теперь найдем разность между третьим и вторым членами:

$x_3 - x_2 = (b^2 + bc + c^2) - (a^2 + ac + c^2) = b^2 + bc + c^2 - a^2 - ac - c^2$

Сгруппируем слагаемые:

$x_3 - x_2 = (b^2 - a^2) + (bc - ac) = (b - a)(b + a) + c(b - a)$

Вынесем общий множитель $(b - a)$:

$x_3 - x_2 = (b - a)(b + a + c)$

Мы получили выражения для разностей:

$x_2 - x_1 = (c - b)(a + b + c)$

$x_3 - x_2 = (b - a)(a + b + c)$

Поскольку $a, b, c$ — последовательные члены арифметической прогрессии, то по определению $c - b = b - a$. Следовательно, правые части полученных равенств равны, а значит, равны и левые части:

$x_2 - x_1 = x_3 - x_2$

Это доказывает, что числа $a^2 + ab + b^2$, $a^2 + ac + c^2$ и $b^2 + bc + c^2$ образуют арифметическую прогрессию. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.