Страница 154 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

600. Решите уравнение:

а) $x^3 + 4x^2 - 32x = 0;$

б) $x^3 - 10x^2 + 4x - 40 = 0.$

а) $x^3 + 4x^2 - 32x = 0$

Для решения данного уравнения вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x^2 + 4x - 32) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Следовательно, мы имеем два случая:

1) $x_1 = 0$

2) $x^2 + 4x - 32 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Для этого найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-32) = 16 + 128 = 144$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_2 = \frac{-4 - \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 12}{2} = \frac{-16}{2} = -8$

$x_3 = \frac{-4 + \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 12}{2} = \frac{8}{2} = 4$

Таким образом, исходное уравнение имеет три корня.

Ответ: $-8; 0; 4$.

б) $x^3 - 10x^2 + 4x - 40 = 0$

Для решения данного уравнения воспользуемся методом группировки слагаемых. Сгруппируем первое со вторым и третье с четвертым:

$(x^3 - 10x^2) + (4x - 40) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x^2(x - 10) + 4(x - 10) = 0$

Теперь вынесем общий множитель $(x - 10)$ за скобки:

$(x - 10)(x^2 + 4) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

1) $x - 10 = 0 \implies x = 10$

2) $x^2 + 4 = 0 \implies x^2 = -4$

Второе уравнение $x^2 = -4$ не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.

Следовательно, исходное уравнение имеет единственный действительный корень.

Ответ: $10$.

601. Решите неравенство:

a) $(2x - 1)(x + 8) > 0;$

б) $(33 - x)(16 + 2x) \le 0.$

а)

Для решения неравенства $(2x - 1)(x + 8) > 0$ воспользуемся методом интервалов.

1. Найдем корни соответствующего уравнения, приравняв левую часть к нулю:$(2x - 1)(x + 8) = 0$.
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:$2x - 1 = 0$ или $x + 8 = 0$.
Из первого уравнения получаем $2x = 1$, откуда $x_1 = \frac{1}{2}$.
Из второго уравнения получаем $x_2 = -8$.

2. Отметим найденные корни на числовой оси. Поскольку неравенство строгое (знак $> $), точки $x = -8$ и $x = \frac{1}{2}$ будут выколотыми, то есть не войдут в решение. Эти точки разделяют числовую ось на три интервала: $(-\infty; -8)$, $(-8; \frac{1}{2})$ и $(\frac{1}{2}; +\infty)$.

3. Определим знак выражения $(2x - 1)(x + 8)$ в каждом из интервалов, подставив в него любое значение из этого интервала.

- Для интервала $(\frac{1}{2}; +\infty)$ возьмем $x = 1$: $(2 \cdot 1 - 1)(1 + 8) = (1)(9) = 9$. Результат положительный, значит, в этом интервале ставим знак «+».

- Для интервала $(-8; \frac{1}{2})$ возьмем $x = 0$: $(2 \cdot 0 - 1)(0 + 8) = (-1)(8) = -8$. Результат отрицательный, ставим знак «–».

- Для интервала $(-\infty; -8)$ возьмем $x = -10$: $(2 \cdot (-10) - 1)(-10 + 8) = (-21)(-2) = 42$. Результат положительный, ставим знак «+».

4. Согласно знаку неравенства ($>0$), нам нужны интервалы, где выражение положительно, то есть те, где стоит знак «+».

Ответ: $x \in (-\infty; -8) \cup (\frac{1}{2}; +\infty)$.

б)

Решим неравенство $(33 - x)(16 + 2x) \le 0$ методом интервалов.

1. Найдем корни, приравняв левую часть к нулю: $(33 - x)(16 + 2x) = 0$.
$33 - x = 0$ или $16 + 2x = 0$.
Из первого уравнения $x_1 = 33$.
Из второго уравнения $2x = -16$, откуда $x_2 = -8$.

2. Отметим найденные корни на числовой оси. Поскольку неравенство нестрогое (знак $\le$), точки $x = -8$ и $x = 33$ будут закрашенными, то есть войдут в решение. Точки разделяют числовую ось на три интервала.

3. Определим знак выражения $(33 - x)(16 + 2x)$ в каждом интервале.

- Для интервала $(33; +\infty)$ возьмем $x = 40$: $(33 - 40)(16 + 2 \cdot 40) = (-7)(96) = -672$. Результат отрицательный, ставим знак «–».

- Для интервала $(-8; 33)$ возьмем $x = 0$: $(33 - 0)(16 + 2 \cdot 0) = (33)(16) = 528$. Результат положительный, ставим знак «+».

- Для интервала $(-\infty; -8)$ возьмем $x = -10$: $(33 - (-10))(16 + 2 \cdot (-10)) = (43)(16 - 20) = (43)(-4) = -172$. Результат отрицательный, ставим знак «–».

4. Согласно знаку неравенства ($\le 0$), нам нужны интервалы, где выражение отрицательно или равно нулю, то есть те, где стоит знак «–», включая концы этих интервалов.

Ответ: $x \in (-\infty; -8] \cup [33; +\infty)$.

602. Найдите значение выражения:

a) $125^{-1} \cdot 25^2;$

б) $0,0001 \cdot (10^3)^2 \cdot (0,1)^{-2};$

в) $\frac{16^{-3} \cdot 4^5}{8};$

г) $9^4 \cdot \left(\frac{1}{27}\right)^{-3} \cdot 81^{-4}.$

а) Для решения данного примера представим основания степеней 125 и 25 как степени числа 5. $125 = 5^3$ и $25 = 5^2$. Подставим эти значения в исходное выражение и применим свойства степеней: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ и $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. $125^{-1} \cdot 25^2 = (5^3)^{-1} \cdot (5^2)^2 = 5^{3 \cdot (-1)} \cdot 5^{2 \cdot 2} = 5^{-3} \cdot 5^4 = 5^{-3+4} = 5^1 = 5$.
Ответ: 5

б) Для решения представим все множители в виде степеней числа 10. $0,0001 = 10^{-4}$ и $0,1 = 10^{-1}$. Подставим эти значения в выражение и воспользуемся свойствами степеней: $0,0001 \cdot (10^3)^2 \cdot (0,1)^{-2} = 10^{-4} \cdot 10^{3 \cdot 2} \cdot (10^{-1})^{-2} = 10^{-4} \cdot 10^6 \cdot 10^{(-1) \cdot (-2)} = 10^{-4} \cdot 10^6 \cdot 10^2 = 10^{-4+6+2} = 10^4 = 10000$.
Ответ: 10000

в) Чтобы упростить дробь, приведем все числа к основанию 2. $16 = 2^4$, $4 = 2^2$, $8 = 2^3$. Подставим и применим свойства степеней, включая $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$: $\frac{16^{-3} \cdot 4^5}{8} = \frac{(2^4)^{-3} \cdot (2^2)^5}{2^3} = \frac{2^{4 \cdot (-3)} \cdot 2^{2 \cdot 5}}{2^3} = \frac{2^{-12} \cdot 2^{10}}{2^3} = \frac{2^{-12+10}}{2^3} = \frac{2^{-2}}{2^3} = 2^{-2-3} = 2^{-5} = \frac{1}{2^5} = \frac{1}{32}$.
Ответ: $\frac{1}{32}$

г) В данном примере все основания степеней можно представить как степени числа 3. $9 = 3^2$, $\frac{1}{27} = 27^{-1} = (3^3)^{-1} = 3^{-3}$, $81 = 3^4$. Подставим эти значения в выражение и упростим, используя свойства степеней: $9^4 \cdot (\frac{1}{27})^{-3} \cdot 81^{-4} = (3^2)^4 \cdot (3^{-3})^{-3} \cdot (3^4)^{-4} = 3^{2 \cdot 4} \cdot 3^{(-3) \cdot (-3)} \cdot 3^{4 \cdot (-4)} = 3^8 \cdot 3^9 \cdot 3^{-16} = 3^{8+9-16} = 3^{17-16} = 3^1 = 3$.
Ответ: 3