Страница 158 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

603. Найдите сумму первых шестидесяти членов арифметической прогрессии $(a_n)$, если:

а) $a_1 = 3, a_{60} = 57;$

б) $a_1 = -10,5, a_{60} = 51,5.$

Для нахождения суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии используется формула, в которой известны первый и $n$-й члены:

$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$

где $S_n$ — это сумма первых $n$ членов, $a_1$ — первый член, $a_n$ — $n$-й член, а $n$ — количество членов.

В обоих случаях нам нужно найти сумму первых шестидесяти членов, то есть $n=60$.

а)

По условию даны первый и шестидесятый члены прогрессии: $a_1 = 3$ и $a_{60} = 57$.

Подставим эти значения в формулу для суммы $S_{60}$:

$S_{60} = \frac{a_1 + a_{60}}{2} \cdot 60$

$S_{60} = \frac{3 + 57}{2} \cdot 60$

Выполним вычисления:

$S_{60} = \frac{60}{2} \cdot 60$

$S_{60} = 30 \cdot 60$

$S_{60} = 1800$

Ответ: 1800.

б)

По условию даны: $a_1 = -10,5$ и $a_{60} = 51,5$.

Подставляем известные значения в ту же формулу для суммы $S_{60}$:

$S_{60} = \frac{a_1 + a_{60}}{2} \cdot 60$

$S_{60} = \frac{-10,5 + 51,5}{2} \cdot 60$

Выполним вычисления:

$S_{60} = \frac{41}{2} \cdot 60$

$S_{60} = 41 \cdot \frac{60}{2}$

$S_{60} = 41 \cdot 30$

$S_{60} = 1230$

Ответ: 1230.

604. Найдите сумму первых восьми членов арифметической прогрессии:

а) -23; -20; ... ;

б) 14,2; 9,6; ... .

а) -23; -20; ...

Для нахождения суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии используется формула: $S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$, где $a_1$ — первый член прогрессии, $d$ — разность прогрессии, а $n$ — количество членов, сумму которых нужно найти.

В данной задаче нам нужно найти сумму первых восьми членов, поэтому $n=8$.
Первый член прогрессии $a_1 = -23$.
Найдем разность прогрессии $d$, вычтя из второго члена первый: $d = a_2 - a_1 = -20 - (-23) = -20 + 23 = 3$.

Теперь подставим найденные значения $a_1$, $d$ и $n$ в формулу суммы: $S_8 = \frac{2 \cdot (-23) + 3 \cdot (8-1)}{2} \cdot 8$
$S_8 = \frac{-46 + 3 \cdot 7}{2} \cdot 8$
$S_8 = \frac{-46 + 21}{2} \cdot 8$
$S_8 = \frac{-25}{2} \cdot 8$
$S_8 = -25 \cdot 4$
$S_8 = -100$
Ответ: -100

б) 14,2; 9,6; ...

Используем ту же формулу для суммы первых $n$ членов: $S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$.
Здесь также $n=8$.
Первый член прогрессии $a_1 = 14,2$.
Найдем разность прогрессии $d$: $d = a_2 - a_1 = 9,6 - 14,2 = -4,6$.

Подставим значения в формулу суммы: $S_8 = \frac{2 \cdot 14,2 + (-4,6) \cdot (8-1)}{2} \cdot 8$
$S_8 = \frac{28,4 - 4,6 \cdot 7}{2} \cdot 8$
$S_8 = \frac{28,4 - 32,2}{2} \cdot 8$
$S_8 = \frac{-3,8}{2} \cdot 8$
$S_8 = -3,8 \cdot 4$
$S_8 = -15,2$
Ответ: -15,2

605. Вычислите сумму первых девяти членов арифметической прогрессии ($b_n$), если:

а) $b_1 = -17, d = 6;$

б) $b_1 = 6,4, d = 0,8.$

Для вычисления суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии $(b_n)$ используется формула:
$S_n = \frac{2b_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$, где $b_1$ – первый член прогрессии, $d$ – её разность, а $n$ – количество членов.
В данной задаче нам нужно найти сумму первых девяти членов, то есть $n=9$.

а) Дано: $b_1 = -17$, $d = 6$.
Подставим известные значения в формулу для суммы первых девяти членов $S_9$:
$S_9 = \frac{2 \cdot (-17) + 6 \cdot (9-1)}{2} \cdot 9$
Выполним вычисления по шагам:
$S_9 = \frac{-34 + 6 \cdot 8}{2} \cdot 9$
$S_9 = \frac{-34 + 48}{2} \cdot 9$
$S_9 = \frac{14}{2} \cdot 9$
$S_9 = 7 \cdot 9 = 63$
Ответ: 63.

б) Дано: $b_1 = 6,4$, $d = 0,8$.
Подставим известные значения в формулу для суммы первых девяти членов $S_9$:
$S_9 = \frac{2 \cdot 6,4 + 0,8 \cdot (9-1)}{2} \cdot 9$
Выполним вычисления по шагам:
$S_9 = \frac{12,8 + 0,8 \cdot 8}{2} \cdot 9$
$S_9 = \frac{12,8 + 6,4}{2} \cdot 9$
$S_9 = \frac{19,2}{2} \cdot 9$
$S_9 = 9,6 \cdot 9 = 86,4$
Ответ: 86,4.