Номер 569, страница 147 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

569. Выпишите первые пять членов последовательности ($a_n$), если:

а) $a_1 = 1, a_{n+1} = a_n + 1;$

б) $a_1 = 1000, a_{n+1} = 0.1a_n;$

в) $a_1 = 16, a_{n+1} = -0.5a_n;$

г) $a_1 = 3, a_{n+1} = a_n^{-1}.$

а) Дана последовательность, в которой первый член $a_1 = 1$ и каждый последующий член находится по рекуррентной формуле $a_{n+1} = a_n + 1$. Эта последовательность является арифметической прогрессией с первым членом 1 и разностью 1. Найдем первые пять членов последовательности, последовательно вычисляя каждый следующий член через предыдущий.

Первый член задан: $a_1 = 1$.
Второй член (при n=1): $a_2 = a_1 + 1 = 1 + 1 = 2$.
Третий член (при n=2): $a_3 = a_2 + 1 = 2 + 1 = 3$.
Четвертый член (при n=3): $a_4 = a_3 + 1 = 3 + 1 = 4$.
Пятый член (при n=4): $a_5 = a_4 + 1 = 4 + 1 = 5$.
Первые пять членов последовательности: 1, 2, 3, 4, 5.
Ответ: 1, 2, 3, 4, 5.

б) Дана последовательность, в которой первый член $a_1 = 1000$ и каждый последующий член находится по рекуррентной формуле $a_{n+1} = 0,1a_n$. Эта последовательность является геометрической прогрессией с первым членом 1000 и знаменателем 0,1. Найдем первые пять членов.

Первый член задан: $a_1 = 1000$.
Второй член (при n=1): $a_2 = 0,1 \cdot a_1 = 0,1 \cdot 1000 = 100$.
Третий член (при n=2): $a_3 = 0,1 \cdot a_2 = 0,1 \cdot 100 = 10$.
Четвертый член (при n=3): $a_4 = 0,1 \cdot a_3 = 0,1 \cdot 10 = 1$.
Пятый член (при n=4): $a_5 = 0,1 \cdot a_4 = 0,1 \cdot 1 = 0,1$.
Первые пять членов последовательности: 1000, 100, 10, 1, 0,1.
Ответ: 1000, 100, 10, 1, 0,1.

в) Дана последовательность, в которой первый член $a_1 = 16$ и каждый последующий член находится по рекуррентной формуле $a_{n+1} = -0,5a_n$. Эта последовательность является геометрической прогрессией с первым членом 16 и знаменателем -0,5. Найдем первые пять членов.

Первый член задан: $a_1 = 16$.
Второй член (при n=1): $a_2 = -0,5 \cdot a_1 = -0,5 \cdot 16 = -8$.
Третий член (при n=2): $a_3 = -0,5 \cdot a_2 = -0,5 \cdot (-8) = 4$.
Четвертый член (при n=3): $a_4 = -0,5 \cdot a_3 = -0,5 \cdot 4 = -2$.
Пятый член (при n=4): $a_5 = -0,5 \cdot a_4 = -0,5 \cdot (-2) = 1$.
Первые пять членов последовательности: 16, -8, 4, -2, 1.
Ответ: 16, -8, 4, -2, 1.

г) Дана последовательность, в которой первый член $a_1 = 3$ и каждый последующий член находится по рекуррентной формуле $a_{n+1} = a_n^{-1}$, что эквивалентно $a_{n+1} = \frac{1}{a_n}$. Найдем первые пять членов.

Первый член задан: $a_1 = 3$.
Второй член (при n=1): $a_2 = a_1^{-1} = 3^{-1} = \frac{1}{3}$.
Третий член (при n=2): $a_3 = a_2^{-1} = (\frac{1}{3})^{-1} = 3$.
Четвертый член (при n=3): $a_4 = a_3^{-1} = 3^{-1} = \frac{1}{3}$.
Пятый член (при n=4): $a_5 = a_4^{-1} = (\frac{1}{3})^{-1} = 3$.
Видно, что члены последовательности чередуются. Первые пять членов: 3, $\frac{1}{3}$, 3, $\frac{1}{3}$, 3.
Ответ: 3, $\frac{1}{3}$, 3, $\frac{1}{3}$, 3.