Номер 567, страница 147 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

567. Последовательность $(a_n)$ задана формулой $a_n = n^2 - n - 20$. Укажите номера отрицательных членов последовательности и вычислите эти члены.

Последовательность задана формулой $a_n = n^2 - n - 20$. Чтобы найти отрицательные члены последовательности, необходимо найти все натуральные номера $n$, для которых выполняется неравенство $a_n < 0$.

Составим и решим это неравенство:

$n^2 - n - 20 < 0$

Для решения этого квадратного неравенства сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $n^2 - n - 20 = 0$.

Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Найдем их:

$n_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 9}{2} = -4$

$n_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 9}{2} = 5$

Квадратный трехчлен $n^2 - n - 20$ представляет собой параболу с ветвями, направленными вверх (так как коэффициент при $n^2$ положителен). Следовательно, значения трехчлена отрицательны на интервале между его корнями.

Таким образом, решение неравенства $n^2 - n - 20 < 0$ есть интервал $-4 < n < 5$.

Поскольку $n$ — это номер члена последовательности, оно должно быть натуральным числом ($n \in \mathbb{N}$). Найдем все натуральные числа, которые принадлежат интервалу $(-4, 5)$:

$n = 1, 2, 3, 4$

Это и есть номера отрицательных членов последовательности.

Теперь вычислим значения этих членов, подставляя найденные номера в исходную формулу $a_n = n^2 - n - 20$:

• При $n=1$: $a_1 = 1^2 - 1 - 20 = 1 - 1 - 20 = -20$
• При $n=2$: $a_2 = 2^2 - 2 - 20 = 4 - 2 - 20 = -18$
• При $n=3$: $a_3 = 3^2 - 3 - 20 = 9 - 3 - 20 = -14$
• При $n=4$: $a_4 = 4^2 - 4 - 20 = 16 - 4 - 20 = -8$

Для проверки можно вычислить $a_5 = 5^2 - 5 - 20 = 25 - 5 - 20 = 0$, что не является отрицательным числом.

Ответ: Номера отрицательных членов последовательности: 1, 2, 3, 4. Значения этих членов: $a_1 = -20$, $a_2 = -18$, $a_3 = -14$, $a_4 = -8$.