Номер 574, страница 147 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

574. Представьте выражение в виде степени с основанием 3 и найдите его значение:

а) $81 \cdot 3^{-6}$;

б) $\frac{(-3^{-3})^3}{-9^{-2}}$;

в) $9^{-5} \cdot \left(\frac{1}{9}\right)^{-3}$;

г) $(-3^{-3})^2 \cdot 27^3$.

a) Чтобы представить выражение $81 \cdot 3^{-6}$ в виде степени с основанием 3, сначала представим число 81 как степень тройки.
Так как $3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$, то $81 = 3^4$.
Подставим это значение в исходное выражение:
$81 \cdot 3^{-6} = 3^4 \cdot 3^{-6}$.
При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются (согласно свойству $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$):
$3^4 \cdot 3^{-6} = 3^{4 + (-6)} = 3^{4-6} = 3^{-2}$.
Это и есть выражение в виде степени с основанием 3.
Теперь найдем его значение:
$3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$.
Ответ: $3^{-2} = \frac{1}{9}$.

б) Рассмотрим выражение $\frac{(-3^{-3})^3}{-9^{-2}}$.
Сначала упростим числитель $(-3^{-3})^3$. При возведении отрицательного числа в нечетную степень (3) результат будет отрицательным. Далее используем свойство $(a^m)^n = a^{mn}$:
$(-3^{-3})^3 = -(3^{-3})^3 = -3^{-3 \cdot 3} = -3^{-9}$.
Теперь упростим знаменатель $-9^{-2}$. Представим 9 как $3^2$:
$-9^{-2} = -(3^2)^{-2} = -3^{2 \cdot (-2)} = -3^{-4}$.
Подставим упрощенные части обратно в дробь:
$\frac{-3^{-9}}{-3^{-4}}$.
Отрицательные знаки в числителе и знаменателе сокращаются. При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются (согласно свойству $a^m / a^n = a^{m-n}$):
$\frac{3^{-9}}{3^{-4}} = 3^{-9 - (-4)} = 3^{-9+4} = 3^{-5}$.
Это выражение в виде степени с основанием 3.
Найдем его значение:
$3^{-5} = \frac{1}{3^5} = \frac{1}{243}$.
Ответ: $3^{-5} = \frac{1}{243}$.

в) Рассмотрим выражение $9^{-5} \cdot (\frac{1}{9})^{-3}$.
Представим все части выражения в виде степени с основанием 3. Мы знаем, что $9 = 3^2$ и $\frac{1}{9} = 9^{-1} = (3^2)^{-1} = 3^{-2}$.
Подставим эти значения в исходное выражение:
$(3^2)^{-5} \cdot (3^{-2})^{-3}$.
Используем свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$ для обоих множителей:
$3^{2 \cdot (-5)} \cdot 3^{-2 \cdot (-3)} = 3^{-10} \cdot 3^{6}$.
Теперь используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$3^{-10 + 6} = 3^{-4}$.
Это выражение в виде степени с основанием 3.
Найдем его значение:
$3^{-4} = \frac{1}{3^4} = \frac{1}{81}$.
Ответ: $3^{-4} = \frac{1}{81}$.

г) Рассмотрим выражение $(-3^{-3})^2 \cdot 27^3$.
Упростим первый множитель $(-3^{-3})^2$. При возведении отрицательного числа в четную степень (2) результат будет положительным:
$(-3^{-3})^2 = (3^{-3})^2 = 3^{-3 \cdot 2} = 3^{-6}$.
Теперь упростим второй множитель $27^3$. Представим 27 как $3^3$:
$27^3 = (3^3)^3 = 3^{3 \cdot 3} = 3^9$.
Теперь перемножим полученные выражения:
$3^{-6} \cdot 3^9$.
Используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$3^{-6+9} = 3^3$.
Это выражение в виде степени с основанием 3.
Найдем его значение:
$3^3 = 27$.
Ответ: $3^3 = 27$.