Номер 572, страница 147 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

572. Решите уравнение:

а) $4x^4 + 4x^2 - 15 = 0;$

б) $2x^4 - x^2 - 36 = 0.$

а) Решим биквадратное уравнение $4x^4 + 4x^2 - 15 = 0$.
Введем замену переменной. Пусть $y = x^2$. Поскольку квадрат действительного числа всегда неотрицателен, должно выполняться условие $y \ge 0$.
После замены исходное уравнение примет вид квадратного уравнения:
$4y^2 + 4y - 15 = 0$
Для решения этого уравнения найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = 4^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-15) = 16 + 240 = 256$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их:
$\sqrt{D} = \sqrt{256} = 16$
$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + 16}{2 \cdot 4} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$
$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - 16}{2 \cdot 4} = \frac{-20}{8} = -\frac{5}{2}$
Теперь вернемся к замене и учтем условие $y \ge 0$.
Корень $y_1 = \frac{3}{2}$ удовлетворяет условию $y \ge 0$.
Корень $y_2 = -\frac{5}{2}$ не удовлетворяет условию $y \ge 0$, следовательно, он является посторонним.
Подставим подходящее значение $y$ в уравнение замены:
$x^2 = \frac{3}{2}$
$x = \pm\sqrt{\frac{3}{2}} = \pm\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \pm\frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \pm\frac{\sqrt{6}}{2}$
Ответ: $\pm\frac{\sqrt{6}}{2}$.

б) Решим биквадратное уравнение $2x^4 - x^2 - 36 = 0$.
Произведем замену переменной. Пусть $y = x^2$, где $y \ge 0$.
Получаем квадратное уравнение:
$2y^2 - y - 36 = 0$
Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-36) = 1 + 288 = 289$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их:
$\sqrt{D} = \sqrt{289} = 17$
$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-1) + 17}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 17}{4} = \frac{18}{4} = \frac{9}{2}$
$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-1) - 17}{2 \cdot 2} = \frac{1 - 17}{4} = \frac{-16}{4} = -4$
Проверим корни на соответствие условию $y \ge 0$.
Корень $y_1 = \frac{9}{2}$ удовлетворяет условию.
Корень $y_2 = -4$ не удовлетворяет условию, поэтому является посторонним.
Выполним обратную замену для $y_1$:
$x^2 = \frac{9}{2}$
$x = \pm\sqrt{\frac{9}{2}} = \pm\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{2}} = \pm\frac{3}{\sqrt{2}} = \pm\frac{3 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \pm\frac{3\sqrt{2}}{2}$
Ответ: $\pm\frac{3\sqrt{2}}{2}$.