Номер 573, страница 147 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

573. Решите неравенство:

а) $x^2 + x - 42 \le 0$;

б) $(x + 11)(x + 4)(x - 1) > 0$.

а) $x^2 + x - 42 \le 0$

Для решения данного квадратного неравенства сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + x - 42 = 0$. Это можно сделать с помощью теоремы Виета или через дискриминант.

Найдем корни через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-42) = 1 + 168 = 169 = 13^2$.

Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - 13}{2} = \frac{-14}{2} = -7$.
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 13}{2} = \frac{12}{2} = 6$.

Теперь мы можем разложить квадратный трехчлен на множители: $x^2 + x - 42 = (x + 7)(x - 6)$. Неравенство принимает вид: $(x + 7)(x - 6) \le 0$.

Решим это неравенство методом интервалов. Отметим корни $x = -7$ и $x = 6$ на числовой прямой. Поскольку неравенство нестрогое ($\le$), точки будут закрашенными. Эти точки разбивают прямую на три интервала: $(-\infty, -7]$, $[-7, 6]$ и $[6, \infty)$. Графиком функции $y = x^2 + x - 42$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, значения функции меньше или равны нулю ($y \le 0$) на промежутке между корнями.

Таким образом, решение неравенства — это промежуток, где выражение меньше или равно нулю. Это интервал от $-7$ до $6$ включительно.
Ответ: $x \in [-7, 6]$.

б) $(x + 11)(x + 4)(x - 1) > 0$

Для решения этого неравенства воспользуемся методом интервалов. Сначала найдем нули (корни) выражения в левой части, приравняв каждый множитель к нулю:

$x + 11 = 0 \implies x_1 = -11$.
$x + 4 = 0 \implies x_2 = -4$.
$x - 1 = 0 \implies x_3 = 1$.

Отметим эти точки на числовой прямой. Поскольку неравенство строгое ($>$), точки будут выколотыми (незакрашенными). Точки $-11, -4, 1$ разбивают числовую прямую на четыре интервала: $(-\infty, -11)$, $(-11, -4)$, $(-4, 1)$ и $(1, \infty)$.

Определим знак выражения $(x + 11)(x + 4)(x - 1)$ в каждом интервале. Начнем с крайнего правого интервала.
- При $x \in (1, \infty)$ (например, $x = 2$): $(2 + 11)(2 + 4)(2 - 1)$ — произведение трех положительных чисел, результат положителен ($+$).
- Так как все корни имеют нечетную кратность (равную 1), знаки в интервалах будут чередоваться.
- При $x \in (-4, 1)$ знак будет отрицательным ($-$).
- При $x \in (-11, -4)$ знак будет положительным ($+$).
- При $x \in (-\infty, -11)$ знак будет отрицательным ($-$).

Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля (отмечены знаком "$+$"). Это интервалы $(-11, -4)$ и $(1, \infty)$.
Ответ: $x \in (-11, -4) \cup (1, \infty)$.