Номер 607, страница 159 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

607. Арифметическая прогрессия задана формулой $a_n = 3n + 2$.

Найдите сумму первых:

а) двадцати её членов;

б) пятнадцати её членов.

Дана арифметическая прогрессия, заданная формулой n-го члена $a_n = 3n + 2$. Для нахождения суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии используется формула: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$ где $a_1$ — первый член прогрессии, $a_n$ — n-й член прогрессии, а $n$ — количество членов.

а) двадцати её членов;
В этом случае $n=20$. Нам нужно найти сумму первых двадцати членов, $S_{20}$. Сначала найдём первый член прогрессии, подставив $n=1$ в заданную формулу:
$a_1 = 3 \cdot 1 + 2 = 5$
Теперь найдём двадцатый член прогрессии, подставив $n=20$:
$a_{20} = 3 \cdot 20 + 2 = 60 + 2 = 62$
Теперь мы можем вычислить сумму первых двадцати членов, подставив $a_1=5$, $a_{20}=62$ и $n=20$ в формулу суммы:
$S_{20} = \frac{a_1 + a_{20}}{2} \cdot 20 = \frac{5 + 62}{2} \cdot 20 = \frac{67}{2} \cdot 20 = 67 \cdot 10 = 670$
Ответ: 670.

б) пятнадцати её членов.
В этом случае $n=15$. Нам нужно найти сумму первых пятнадцати членов, $S_{15}$. Первый член прогрессии $a_1$ мы уже нашли, он равен 5. Теперь найдём пятнадцатый член прогрессии, подставив $n=15$ в заданную формулу:
$a_{15} = 3 \cdot 15 + 2 = 45 + 2 = 47$
Теперь вычислим сумму первых пятнадцати членов, подставив $a_1=5$, $a_{15}=47$ и $n=15$ в формулу суммы:
$S_{15} = \frac{a_1 + a_{15}}{2} \cdot 15 = \frac{5 + 47}{2} \cdot 15 = \frac{52}{2} \cdot 15 = 26 \cdot 15 = 390$
Ответ: 390.