Номер 606, страница 159 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

606. Найдите сумму первых пятидесяти, ста, $n$ членов последовательности $(x_n)$, если:

а) $x_n = 4n + 2$;

б) $x_n = 2n + 3;

в) $x_n = n - 4;

г) $x_n = 3n - 1.

а)

Последовательность, заданная формулой $x_n = 4n + 2$, является арифметической прогрессией, так как формула для n-го члена является линейной функцией от $n$. Первый член этой прогрессии $x_1 = 4(1) + 2 = 6$. Разность прогрессии $d$ равна коэффициенту при $n$, то есть $d=4$.

Сумма первых $k$ членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле: $S_k = \frac{x_1 + x_k}{2} \cdot k$.

Найдем сумму первых 50 членов ($S_{50}$).
Сначала вычислим 50-й член последовательности: $x_{50} = 4(50) + 2 = 202$.
Теперь найдем сумму: $S_{50} = \frac{x_1 + x_{50}}{2} \cdot 50 = \frac{6 + 202}{2} \cdot 50 = \frac{208}{2} \cdot 50 = 104 \cdot 50 = 5200$.

Найдем сумму первых 100 членов ($S_{100}$).
Сначала вычислим 100-й член последовательности: $x_{100} = 4(100) + 2 = 402$.
Теперь найдем сумму: $S_{100} = \frac{x_1 + x_{100}}{2} \cdot 100 = \frac{6 + 402}{2} \cdot 100 = \frac{408}{2} \cdot 100 = 204 \cdot 100 = 20400$.

Найдем сумму первых $n$ членов ($S_n$).
Используем общую формулу для n-го члена $x_n = 4n + 2$.
Сумма: $S_n = \frac{x_1 + x_n}{2} \cdot n = \frac{6 + (4n + 2)}{2} \cdot n = \frac{4n + 8}{2} \cdot n = (2n + 4)n = 2n^2 + 4n$.

Ответ: $S_{50} = 5200$; $S_{100} = 20400$; $S_n = 2n^2 + 4n$.

б)

Последовательность, заданная формулой $x_n = 2n + 3$, является арифметической прогрессией. Первый член $x_1 = 2(1) + 3 = 5$. Разность прогрессии $d=2$.

Найдем сумму первых 50 членов ($S_{50}$).
50-й член: $x_{50} = 2(50) + 3 = 103$.
Сумма: $S_{50} = \frac{x_1 + x_{50}}{2} \cdot 50 = \frac{5 + 103}{2} \cdot 50 = \frac{108}{2} \cdot 50 = 54 \cdot 50 = 2700$.

Найдем сумму первых 100 членов ($S_{100}$).
100-й член: $x_{100} = 2(100) + 3 = 203$.
Сумма: $S_{100} = \frac{x_1 + x_{100}}{2} \cdot 100 = \frac{5 + 203}{2} \cdot 100 = \frac{208}{2} \cdot 100 = 104 \cdot 100 = 10400$.

Найдем сумму первых $n$ членов ($S_n$).
Сумма: $S_n = \frac{x_1 + x_n}{2} \cdot n = \frac{5 + (2n + 3)}{2} \cdot n = \frac{2n + 8}{2} \cdot n = (n + 4)n = n^2 + 4n$.

Ответ: $S_{50} = 2700$; $S_{100} = 10400$; $S_n = n^2 + 4n$.

в)

Последовательность, заданная формулой $x_n = n - 4$, является арифметической прогрессией. Первый член $x_1 = 1 - 4 = -3$. Разность прогрессии $d=1$.

Найдем сумму первых 50 членов ($S_{50}$).
50-й член: $x_{50} = 50 - 4 = 46$.
Сумма: $S_{50} = \frac{x_1 + x_{50}}{2} \cdot 50 = \frac{-3 + 46}{2} \cdot 50 = \frac{43}{2} \cdot 50 = 43 \cdot 25 = 1075$.

Найдем сумму первых 100 членов ($S_{100}$).
100-й член: $x_{100} = 100 - 4 = 96$.
Сумма: $S_{100} = \frac{x_1 + x_{100}}{2} \cdot 100 = \frac{-3 + 96}{2} \cdot 100 = \frac{93}{2} \cdot 100 = 93 \cdot 50 = 4650$.

Найдем сумму первых $n$ членов ($S_n$).
Сумма: $S_n = \frac{x_1 + x_n}{2} \cdot n = \frac{-3 + (n - 4)}{2} \cdot n = \frac{n - 7}{2} \cdot n = \frac{n^2 - 7n}{2}$.

Ответ: $S_{50} = 1075$; $S_{100} = 4650$; $S_n = \frac{n^2 - 7n}{2}$.

г)

Последовательность, заданная формулой $x_n = 3n - 1$, является арифметической прогрессией. Первый член $x_1 = 3(1) - 1 = 2$. Разность прогрессии $d=3$.

Найдем сумму первых 50 членов ($S_{50}$).
50-й член: $x_{50} = 3(50) - 1 = 149$.
Сумма: $S_{50} = \frac{x_1 + x_{50}}{2} \cdot 50 = \frac{2 + 149}{2} \cdot 50 = \frac{151}{2} \cdot 50 = 151 \cdot 25 = 3775$.

Найдем сумму первых 100 членов ($S_{100}$).
100-й член: $x_{100} = 3(100) - 1 = 299$.
Сумма: $S_{100} = \frac{x_1 + x_{100}}{2} \cdot 100 = \frac{2 + 299}{2} \cdot 100 = \frac{301}{2} \cdot 100 = 301 \cdot 50 = 15050$.

Найдем сумму первых $n$ членов ($S_n$).
Сумма: $S_n = \frac{x_1 + x_n}{2} \cdot n = \frac{2 + (3n - 1)}{2} \cdot n = \frac{3n + 1}{2} \cdot n = \frac{3n^2 + n}{2}$.

Ответ: $S_{50} = 3775$; $S_{100} = 15050$; $S_n = \frac{3n^2 + n}{2}$.