Номер 4, страница 160 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Запишите формулы $n$-го члена и суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии.

Формула n-го члена арифметической прогрессии

Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность, в которой каждый следующий член, начиная со второго, получается путем прибавления к предыдущему члену одного и того же числа, называемого разностью прогрессии.

Для нахождения любого члена прогрессии по его номеру используется формула n-го члена. В этой формуле используются следующие обозначения:
$a_n$ — n-й член прогрессии (искомый член);
$a_1$ — первый член прогрессии;
$d$ — разность прогрессии;
$n$ — порядковый номер члена прогрессии.

Формула выводится непосредственно из определения. Чтобы найти n-й член, нужно к первому члену $a_1$ прибавить разность $d$ ровно $(n-1)$ раз. Проследим эту логику:
$a_2 = a_1 + d$
$a_3 = a_2 + d = (a_1 + d) + d = a_1 + 2d$
$a_4 = a_3 + d = (a_1 + 2d) + d = a_1 + 3d$
Закономерность очевидна: коэффициент при $d$ всегда на единицу меньше номера члена прогрессии.

Таким образом, общая формула для n-го члена арифметической прогрессии имеет вид:

$a_n = a_1 + d(n-1)$

Ответ: $a_n = a_1 + d(n-1)$

Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии

Сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии, обозначаемая как $S_n$, может быть вычислена по двум основным формулам в зависимости от известных данных.

Первая (классическая) формула применяется, когда известны первый ($a_1$) и последний ($a_n$) из суммируемых членов, а также их количество ($n$). Сумма равна произведению полусуммы первого и последнего членов на их количество:

$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$

Вторая формула является более универсальной, так как для неё не требуется знать значение последнего члена $a_n$. Она используется, когда известны первый член ($a_1$), разность прогрессии ($d$) и количество членов ($n$). Эту формулу получают путем подстановки формулы n-го члена ($a_n = a_1 + d(n-1)$) в первую формулу суммы:

$S_n = \frac{a_1 + (a_1 + d(n-1))}{2} \cdot n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

Выбор конкретной формулы для решения задачи зависит от того, какие параметры прогрессии даны в условии.

Ответ: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$ или $S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$