Номер 629, страница 166 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

629. В треугольнике $ABC$ (рис. 79) провели среднюю линию $A_1C_1$, в треугольнике $A_1BC_1$ также провели среднюю линию $A_2C_2$, во вновь образовавшемся треугольнике $A_2BC_2$ снова провели среднюю линию $A_3C_3$ и т. д. Найдите площадь треугольника $A_9BC_9$, если известно, что площадь треугольника $ABC$ равна $768 \text{ см}^2$.

Решение:
По определению, средняя линия треугольника соединяет середины двух его сторон. Таким образом, в треугольнике $ABC$ точки $A_1$ и $C_1$ являются серединами сторон $AB$ и $BC$ соответственно.

Треугольник $A_1BC_1$, образованный средней линией, подобен исходному треугольнику $ABC$. Угол $\angle B$ у них общий, а стороны, образующие этот угол, пропорциональны: $BA_1 = \frac{1}{2}BA$ и $BC_1 = \frac{1}{2}BC$. Коэффициент подобия $k$ равен $\frac{1}{2}$.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента их подобия. Следовательно: $\frac{S_{A_1BC_1}}{S_{ABC}} = k^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$

Это означает, что площадь треугольника $A_1BC_1$ в 4 раза меньше площади треугольника $ABC$: $S_{A_1BC_1} = \frac{1}{4} S_{ABC}$.

Далее, в треугольнике $A_1BC_1$ проводится средняя линия $A_2C_2$, образуя треугольник $A_2BC_2$. По той же логике, его площадь будет в 4 раза меньше площади треугольника $A_1BC_1$: $S_{A_2BC_2} = \frac{1}{4} S_{A_1BC_1} = \frac{1}{4} \cdot (\frac{1}{4} S_{ABC}) = (\frac{1}{4})^2 S_{ABC}$.

Продолжая эту последовательность, мы можем вывести общую формулу для площади треугольника $A_nBC_n$: $S_{A_nBC_n} = (\frac{1}{4})^n S_{ABC}$.

Нам необходимо найти площадь треугольника $A_9BC_9$. Подставляем в формулу $n=9$ и заданную площадь $S_{ABC} = 768$ см²: $S_{A_9BC_9} = (\frac{1}{4})^9 \cdot 768$.

Для удобства вычислений представим числа как степени двойки. $4^9 = (2^2)^9 = 2^{18}$. Разложим число 768 на простые множители: $768 = 3 \cdot 256 = 3 \cdot 2^8$.

Теперь подставим эти значения в нашу формулу: $S_{A_9BC_9} = \frac{3 \cdot 2^8}{4^9} = \frac{3 \cdot 2^8}{2^{18}} = \frac{3}{2^{18-8}} = \frac{3}{2^{10}}$.

Вычисляем знаменатель: $2^{10} = 1024$. Таким образом, площадь искомого треугольника равна: $S_{A_9BC_9} = \frac{3}{1024}$ см².

Ответ: $ \frac{3}{1024} $ см².