Номер 632, страница 166 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

632. Последовательность $ (x_n) $ — геометрическая прогрессия. Найдите:

а) $x_1$, если $x_6 = 0,32$, $q = 0,2$;

б) $q$, если $x_3 = -162$, $x_5 = -18$.

а) По условию задачи, последовательность $(x_n)$ является геометрической прогрессией. Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид: $x_n = x_1 \cdot q^{n-1}$, где $x_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель.
Нам даны шестой член прогрессии $x_6 = 0,32$ и знаменатель $q = 0,2$. Требуется найти первый член $x_1$.
Подставим известные значения в формулу для n=6:
$x_6 = x_1 \cdot q^{6-1} = x_1 \cdot q^5$
$0,32 = x_1 \cdot (0,2)^5$
Чтобы найти $x_1$, разделим обе части уравнения на $(0,2)^5$:
$x_1 = \frac{0,32}{(0,2)^5}$
Вычислим значение знаменателя:
$(0,2)^5 = 0,2 \cdot 0,2 \cdot 0,2 \cdot 0,2 \cdot 0,2 = 0,00032$
Теперь найдем $x_1$:
$x_1 = \frac{0,32}{0,00032} = \frac{32000}{32} = 1000$
Ответ: $1000$.

б) В этом пункте нам известны третий и пятый члены прогрессии: $x_3 = -162$ и $x_5 = -18$. Нам необходимо найти знаменатель прогрессии $q$.
Воспользуемся свойством геометрической прогрессии, связывающим любые два её члена: $x_n = x_m \cdot q^{n-m}$.
Применим эту формулу для $n=5$ и $m=3$:
$x_5 = x_3 \cdot q^{5-3}$
$x_5 = x_3 \cdot q^2$
Подставим известные значения в это уравнение:
$-18 = -162 \cdot q^2$
Выразим $q^2$:
$q^2 = \frac{-18}{-162} = \frac{18}{162}$
Сократим полученную дробь. Заметим, что $162 = 18 \cdot 9$.
$q^2 = \frac{18}{18 \cdot 9} = \frac{1}{9}$
Теперь найдем $q$, извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения. Уравнение имеет два решения:
$q_1 = \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}$
$q_2 = -\sqrt{\frac{1}{9}} = -\frac{1}{3}$
Оба значения являются возможными знаменателями данной геометрической прогрессии.
Ответ: $\frac{1}{3}$ или $-\frac{1}{3}$.