Номер 698, страница 179 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

698. Запишите формулу суммы первых $n$ членов последовательности ($a_n$), если:

а) $a_n = 2n + 1$;

б) $a_n = 3 - n$.

а) Для того чтобы найти формулу суммы первых $n$ членов последовательности $(a_n)$, заданной формулой $a_n = 2n + 1$, сначала определим тип этой последовательности. Проверим, является ли она арифметической прогрессией. Для этого найдем разность $d$ между $(n+1)$-м и $n$-м членами последовательности.

$d = a_{n+1} - a_n = (2(n+1) + 1) - (2n + 1) = (2n + 2 + 1) - (2n + 1) = 2n + 3 - 2n - 1 = 2$.

Так как разность $d$ является постоянной величиной, равной 2, данная последовательность является арифметической прогрессией.

Найдем первый член этой прогрессии, подставив $n=1$ в формулу:

$a_1 = 2 \cdot 1 + 1 = 3$.

Сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии $S_n$ вычисляется по формуле:

$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.

Подставим известные значения $a_1 = 3$ и $a_n = 2n + 1$ в формулу суммы:

$S_n = \frac{3 + (2n + 1)}{2} \cdot n = \frac{2n + 4}{2} \cdot n = (n + 2) \cdot n = n(n+2)$.

Ответ: $S_n = n(n+2)$.

б) Рассмотрим последовательность, заданную формулой $a_n = 3 - n$. Аналогично предыдущему пункту, проверим, является ли она арифметической прогрессией.

$d = a_{n+1} - a_n = (3 - (n+1)) - (3 - n) = (3 - n - 1) - (3 - n) = 2 - n - 3 + n = -1$.

Разность $d$ постоянна и равна -1, следовательно, это арифметическая прогрессия.

Найдем ее первый член:

$a_1 = 3 - 1 = 2$.

Используем ту же формулу для суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:

$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.

Подставим значения $a_1 = 2$ и $a_n = 3 - n$:

$S_n = \frac{2 + (3 - n)}{2} \cdot n = \frac{5 - n}{2} \cdot n = \frac{n(5 - n)}{2}$.

Ответ: $S_n = \frac{n(5-n)}{2}$.