Номер 697, страница 179 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

697. Найдите пятидесятый член арифметической прогрессии, если:

а) $S_{20} = 1000, S_{40} = 10000;$

б) $S_5 = 0,5, S_{15} = -81.$

а)

Для решения задачи воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:

$S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$

где $a_1$ — первый член прогрессии, а $d$ — её разность.

По условию задачи имеем:

$S_{20} = 1000$

$S_{40} = 10000$

Подставим эти значения в формулу и получим систему из двух уравнений с двумя неизвестными $a_1$ и $d$:

$\begin{cases} \frac{2a_1 + (20-1)d}{2} \cdot 20 = 1000 \\ \frac{2a_1 + (40-1)d}{2} \cdot 40 = 10000 \end{cases}$

Упростим каждое уравнение:

$(2a_1 + 19d) \cdot 10 = 1000 \implies 2a_1 + 19d = 100$

$(2a_1 + 39d) \cdot 20 = 10000 \implies 2a_1 + 39d = 500$

Получаем систему:

$\begin{cases} 2a_1 + 19d = 100 \\ 2a_1 + 39d = 500 \end{cases}$

Вычтем из второго уравнения первое:

$(2a_1 + 39d) - (2a_1 + 19d) = 500 - 100$

$20d = 400$

$d = \frac{400}{20} = 20$

Теперь найдём $a_1$, подставив значение $d$ в первое уравнение системы:

$2a_1 + 19 \cdot 20 = 100$

$2a_1 + 380 = 100$

$2a_1 = 100 - 380$

$2a_1 = -280$

$a_1 = -140$

Нам нужно найти пятидесятый член прогрессии, $a_{50}$. Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии:

$a_n = a_1 + (n-1)d$

Подставим найденные значения $a_1$, $d$ и $n=50$:

$a_{50} = -140 + (50-1) \cdot 20$

$a_{50} = -140 + 49 \cdot 20$

$a_{50} = -140 + 980$

$a_{50} = 840$

Ответ: $840$.

б)

Аналогично пункту а), используем формулу суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:

$S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$

По условию задачи имеем:

$S_5 = 0,5$

$S_{15} = -81$

Составим систему уравнений:

$\begin{cases} \frac{2a_1 + (5-1)d}{2} \cdot 5 = 0,5 \\ \frac{2a_1 + (15-1)d}{2} \cdot 15 = -81 \end{cases}$

Упростим каждое уравнение:

$\frac{2a_1 + 4d}{2} \cdot 5 = 0,5 \implies (a_1 + 2d) \cdot 5 = 0,5 \implies a_1 + 2d = 0,1$

$\frac{2a_1 + 14d}{2} \cdot 15 = -81 \implies (a_1 + 7d) \cdot 15 = -81 \implies a_1 + 7d = -\frac{81}{15} = -5,4$

Получаем систему:

$\begin{cases} a_1 + 2d = 0,1 \\ a_1 + 7d = -5,4 \end{cases}$

Вычтем из второго уравнения первое:

$(a_1 + 7d) - (a_1 + 2d) = -5,4 - 0,1$

$5d = -5,5$

$d = \frac{-5,5}{5} = -1,1$

Теперь найдём $a_1$, подставив значение $d$ в первое уравнение системы:

$a_1 + 2 \cdot (-1,1) = 0,1$

$a_1 - 2,2 = 0,1$

$a_1 = 0,1 + 2,2$

$a_1 = 2,3$

Найдём пятидесятый член прогрессии $a_{50}$ по формуле $a_n = a_1 + (n-1)d$:

$a_{50} = 2,3 + (50-1) \cdot (-1,1)$

$a_{50} = 2,3 + 49 \cdot (-1,1)$

$a_{50} = 2,3 - 53,9$

$a_{50} = -51,6$

Ответ: $-51,6$.