Номер 704, страница 180 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

704. Является ли геометрической прогрессией последовательность $(x_n)$, если:

а) $x_n = 2^n;$

б) $x_n = 3^{-n};$

в) $x_n = n^2;$

г) $x_n = ab^n$, где $a \ne 0, b \ne 0?$

Для того чтобы определить, является ли последовательность $(x_n)$ геометрической прогрессией, необходимо проверить, является ли отношение каждого последующего члена к предыдущему, то есть частное $\frac{x_{n+1}}{x_n}$, постоянной величиной (константой), не зависящей от $n$. Эта величина называется знаменателем геометрической прогрессии и обозначается $q$. Также все члены прогрессии должны быть отличны от нуля.

а) $x_n = 2^n$

Найдем $(n+1)$-й член последовательности, подставив $n+1$ вместо $n$: $x_{n+1} = 2^{n+1}$.

Теперь найдем отношение $\frac{x_{n+1}}{x_n}$:

$\frac{x_{n+1}}{x_n} = \frac{2^{n+1}}{2^n} = 2^{(n+1)-n} = 2^1 = 2$.

Отношение равно 2, что является постоянной величиной (не зависит от $n$). Следовательно, данная последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем $q = 2$.

Ответ: да, является.

б) $x_n = 3^{-n}$

Найдем $(n+1)$-й член последовательности: $x_{n+1} = 3^{-(n+1)} = 3^{-n-1}$.

Теперь найдем отношение $\frac{x_{n+1}}{x_n}$:

$\frac{x_{n+1}}{x_n} = \frac{3^{-n-1}}{3^{-n}} = 3^{(-n-1)-(-n)} = 3^{-n-1+n} = 3^{-1} = \frac{1}{3}$.

Отношение равно $\frac{1}{3}$, что является постоянной величиной. Следовательно, данная последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем $q = \frac{1}{3}$.

Ответ: да, является.

в) $x_n = n^2$

Найдем $(n+1)$-й член последовательности: $x_{n+1} = (n+1)^2$.

Теперь найдем отношение $\frac{x_{n+1}}{x_n}$:

$\frac{x_{n+1}}{x_n} = \frac{(n+1)^2}{n^2} = \left(\frac{n+1}{n}\right)^2 = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^2$.

Это отношение зависит от $n$, значит, оно не является постоянной величиной. Для примера, найдем отношение для нескольких первых членов:

$\frac{x_2}{x_1} = \frac{2^2}{1^2} = 4$

$\frac{x_3}{x_2} = \frac{3^2}{2^2} = \frac{9}{4} = 2.25$

Так как $4 \neq 2.25$, отношение не постоянно, и последовательность не является геометрической прогрессией.

Ответ: нет, не является.

г) $x_n = ab^n$, где $a \neq 0, b \neq 0$

Найдем $(n+1)$-й член последовательности: $x_{n+1} = ab^{n+1}$.

Условия $a \neq 0$ и $b \neq 0$ гарантируют, что все члены последовательности $x_n$ отличны от нуля.

Теперь найдем отношение $\frac{x_{n+1}}{x_n}$:

$\frac{x_{n+1}}{x_n} = \frac{ab^{n+1}}{ab^n}$.

Поскольку $a \neq 0$, мы можем сократить дробь на $a$:

$\frac{ab^{n+1}}{ab^n} = \frac{b^{n+1}}{b^n} = b^{(n+1)-n} = b^1 = b$.

Отношение равно $b$, что является постоянной величиной (не зависит от $n$). Следовательно, данная последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем $q = b$.

Ответ: да, является.