Номер 711, страница 181 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

711. Сумму первых $n$ членов последовательности $(x_n)$ можно найти по формуле

$S_n = \frac{3}{4}(5^n - 1).$

Докажите, что последовательность $(x_n)$ — геометрическая прогрессия. Найдите знаменатель и первый член этой прогрессии.

Для решения задачи воспользуемся связью между n-м членом последовательности $x_n$ и суммой первых n членов $S_n$. Дана формула для суммы: $S_n = \frac{3}{4}(5^n - 1)$.

Докажите, что последовательность $(x_n)$ — геометрическая прогрессия.

Чтобы доказать, что последовательность является геометрической прогрессией, необходимо найти ее n-й член $x_n$ и показать, что отношение любого ее члена к предыдущему является постоянным числом (это число будет знаменателем прогрессии $q$).

N-й член последовательности можно найти как разность суммы $n$ членов и суммы $n-1$ членов: $x_n = S_n - S_{n-1}$ (для $n \ge 2$).

Выразим $S_{n-1}$, подставив $n-1$ в исходную формулу: $S_{n-1} = \frac{3}{4}(5^{n-1} - 1)$.

Теперь найдем общую формулу для члена $x_n$: $x_n = S_n - S_{n-1} = \frac{3}{4}(5^n - 1) - \frac{3}{4}(5^{n-1} - 1)$ $x_n = \frac{3}{4}((5^n - 1) - (5^{n-1} - 1)) = \frac{3}{4}(5^n - 1 - 5^{n-1} + 1)$ $x_n = \frac{3}{4}(5^n - 5^{n-1})$

Вынесем общий множитель $5^{n-1}$ за скобки, чтобы упростить выражение: $x_n = \frac{3}{4}(5 \cdot 5^{n-1} - 5^{n-1}) = \frac{3}{4}(5^{n-1}(5 - 1)) = \frac{3}{4}(5^{n-1} \cdot 4)$ $x_n = 3 \cdot 5^{n-1}$

Мы получили формулу для n-го члена последовательности: $x_n = 3 \cdot 5^{n-1}$. Теперь найдем отношение $\frac{x_n}{x_{n-1}}$: $\frac{x_n}{x_{n-1}} = \frac{3 \cdot 5^{n-1}}{3 \cdot 5^{(n-1)-1}} = \frac{3 \cdot 5^{n-1}}{3 \cdot 5^{n-2}} = 5^{(n-1)-(n-2)} = 5^1 = 5$.

Так как отношение $\frac{x_n}{x_{n-1}}$ является постоянной величиной, равной 5, для любого $n \ge 2$, последовательность $(x_n)$ является геометрической прогрессией.

Найдите знаменатель и первый член этой прогрессии.

Из предыдущего пункта мы установили, что знаменатель геометрической прогрессии $q$ равен 5.

Первый член прогрессии $x_1$ равен сумме первого члена, то есть $x_1 = S_1$. Найдем его, подставив $n=1$ в исходную формулу для суммы: $x_1 = S_1 = \frac{3}{4}(5^1 - 1) = \frac{3}{4}(4) = 3$.

Мы можем проверить, что найденная общая формула $x_n = 3 \cdot 5^{n-1}$ дает тот же результат для $n=1$: $x_1 = 3 \cdot 5^{1-1} = 3 \cdot 5^0 = 3 \cdot 1 = 3$. Значения совпадают, что подтверждает корректность наших вычислений.

Ответ: Последовательность $(x_n)$ является геометрической прогрессией; ее первый член $x_1 = 3$, а знаменатель $q = 5$.