Номер 718, страница 185 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

718. (Для работы в парах.) Составьте все возможные двузначные числа из указанных цифр, используя в записи числа каждую из них не более одного раза:

а) 1, 6, 8;

б) 0, 3, 4.

1) Обсудите, в чём состоит основное различие заданий а) и б).

2) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.

3) Проверьте друг у друга, правильно ли составлены всевозможные двузначные числа.

1) Обсудите, в чём состоит основное различие заданий а) и б).

Основное различие между заданиями заключается в наборе предоставленных цифр. В задании а) дан набор цифр {1, 6, 8}, ни одна из которых не является нулем. В задании б) дан набор {0, 3, 4}, который включает в себя цифру 0.

Это различие принципиально важно, так как при составлении двузначного числа накладывается ограничение: первая цифра (цифра в разряде десятков) не может быть нулем.

• В задании а) любая из трех цифр может быть первой, поэтому на место десятков есть 3 варианта выбора.
• В задании б) первой цифрой могут быть только 3 или 4, но не 0. Поэтому на место десятков есть только 2 варианта выбора.

Это ограничение приводит к тому, что из набора цифр в задании б) можно составить меньше уникальных двузначных чисел, чем из набора в задании а).

Ответ: Основное различие в том, что в наборе цифр для задания б) присутствует 0, который не может стоять на первом месте в двузначном числе, в то время как в задании а) все цифры могут быть первыми.

2) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.

Выполним оба задания.

Решение задания а)
Даны цифры: 1, 6, 8. Нужно составить все двузначные числа, используя каждую цифру не более одного раза.
Систематически перебираем варианты:

• Ставим 1 на первое место (десятки): 16, 18.
• Ставим 6 на первое место (десятки): 61, 68.
• Ставим 8 на первое место (десятки): 81, 86.

Решение задания б)
Даны цифры: 0, 3, 4. Нужно составить все двузначные числа, используя каждую цифру не более одного раза. Помним, что 0 не может быть первой цифрой.
Систематически перебираем варианты:

• Ставим 3 на первое место (десятки): 30, 34.
• Ставим 4 на первое место (десятки): 40, 43.

Ответ:
а) 16, 18, 61, 68, 81, 86.
б) 30, 34, 40, 43.

3) Проверьте друг у друга, правильно ли составлены всевозможные двузначные числа.

Для проверки правильности и полноты решений используем комбинаторный подход.

Проверка задания а):
Мы ищем количество размещений из 3-х различных элементов по 2, так как порядок цифр важен (16 и 61 — разные числа) и цифры не повторяются. Формула для числа размещений без повторений: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.
В нашем случае $n=3$ (цифры 1, 6, 8) и $k=2$ (двузначное число).
$A_3^2 = \frac{3!}{(3-2)!} = \frac{3 \times 2 \times 1}{1} = 6$.
Расчет показывает, что должно быть ровно 6 чисел. В решении (16, 18, 61, 68, 81, 86) как раз 6 чисел. Все они составлены верно.

Проверка задания б):
Здесь подход другой из-за нуля.
Количество вариантов для первой цифры (десятки): 2 (только 3 или 4).
После выбора первой цифры, для второй цифры (единицы) остается 2 варианта (например, если выбрали 3, то остаются 0 и 4).
Общее количество возможных чисел равно произведению числа вариантов для каждой позиции: $2 \times 2 = 4$.
Расчет показывает, что должно быть ровно 4 числа. В решении (30, 34, 40, 43) как раз 4 числа. Все они составлены верно.

Ответ: Проверка подтверждает, что в задании а) найдено верное количество чисел (6), и в задании б) также найдено верное количество чисел (4). Списки чисел, приведенные в ответе к пункту 2), являются полными и правильными.